Odpowiedzi

2010-02-07T14:43:08+01:00
Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi27√2 (27 pierwiastków z 2). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem 45*. Oblicz pole podstawy tego graniastosłupa.

V = 27√2 - objetość graniastosłupa o podstawie kwadratu
α = 45° - kąt nachylenia przekątnej D graniastosłupa do płaszczyzny podstawy( do przekątnej kwadratu)
D= √(a²+ a²+H²) - przekątna graniastosłupa
d = a√2 - przekątna podstawy ( kwadratu)
a - krawędź podstawy
H - wysokość graniastosłupa

Pp = ? - pole podstawy graniastosłupa ( pole kwadratu o boku a)

1.Obliczam H
z trójkata prostokątnego gdzie:
H - przyprostokatna leżąca naprzeciw kąta α = 45°
d - Przyprostokątna przyległa do kąta α = 45°
D - przeciwprostokątna

H : D = sin α
H = D *sin45°
H = D*1/2*√2
H = 1/2*D*√2

2. Obliczam przekątna d podstawy
d : D = cosα
d = D*cos45°
d = D*1/2√2
d = 1/2*D√2

Z punktu 2 i 3 wynika że H = d
d = a√2
H = d = a√2
czyli :
H² = (a√2)²
H² = a²*2
H² = 2a²

3. Obliczam przekatną D graniastosłupa
D = √(a² + a² + H²)
D = √(2a² + H²)
D = √(2a² + 2a²)
D = √(4a²)
D = 2a

4. Obliczam
V = 27√2
V = a²*H
V = a²*H = 27√2
a² *H = 27√2
a² = 27√2 : H
a² = 27√2 : (1/2*D√2)
a² = 54/D
a² = 54 : 2a /*2a
2a³ = 54 /:2
a³ = 27
a³ -27 = 0
Stosuję wzór skróconego mnozenia: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
(a - 3)( a² + 3a + 9) = 0
( a - 3) = 0 lub ( a² + 3a + 9) = 0 - pomijamy bo wyrażenie to jest zawsze dodatnie dla każdego a ( nigdy nie będzie równe zero)
a = 3

5. Obliczam pole podstawy
Pp = a²
Pp = 3²
Pp = 9
Odp. Pole podstawy graniastosłupa wynosi 9
-----------------------------------
Sprawdzam czy V = 27√2 dla :
a = 3
H = d = a√2 = 3√2

V = Pp*H
V = 3² *3√2
V = 9*3√2
V = 27√2 jest zgodne z trescią zadania

1 5 1