Dany jest układ równań:
x+y=m kwadrat +2
2x+y=2m kwadrat -2m -4
Wyznacz rozwiązanie (x,y) układu w zależności od parametru m
a/ dla jakich warości parametru m spełnione są jenocześnie warunki :
x mniejsze lub równe 2 i y kwadrat <6y
b/wyznacz m tak, aby punkt P=(x,y)należał do prostej nachylonej do osi x pod kątem 45* i przechodzącej przez punkt o współrzędnych (5,7)

1

Odpowiedzi

2009-10-09T11:11:44+02:00
X+y=m kwadrat +2
2x+y=2m kwadrat -2m -4

{x+y=m²+2 => y=m²+2-x , wstawiamy do drugiego r-nia
{2x+(m²+2-x)=2m²-2m-4

x=2m²-m²-2m-4-2
x=m²-2m-6
y = m²+2-(m²-2m-6)=2+2m+6=2m+8


Odp. : (x,y)=(m²-2m-6;2m+8)

a){x≤2
{y²<6y

{m²-2m-6≤2 , m²-2m-6-2≤0
{y²-6y<0

{m²-2m-8≤0
delta = (-2)²-4*1*(-8)=4+32=36
√delta=6
m₁=-(-2)-6/2=-4/2=-2
m₂=-(-2)+6/2=2
Rozwiązanie m∈<-2,2>

Drugie
y(y-6)<0
(2m+8)(2m+8-6)<0
(2m+8)(2m+2)<0
2m=-8; 2m=-2
m=-4; m=-1

Rozwiązanie: m∈(-4,-1)

Odp.: m∈< -2,-1)
b/wyznacz m tak, aby punkt P=(x,y)należał do prostej nachylonej do osi x pod kątem 45* i przechodzącej przez punkt o współrzędnych (5,7)

Wyznaczam równanie prostej , gdzie a = tg45* - współczynik kierunkowy
a = tg45*=1
y=ax+b
y=1*x+b
Wstawiamy do r-nia współ. (5,7)
7= 5+b
b=2

zatem r-nie prostej ma postać:
y =x+2
Wstawiamy do r-nia punkt (m²-2m-6, 2m+8)
2m+8 = m²-2m-6+2
-m²+2m+2m+8+4=0
-m²+4m+12=0
delta =16-4*(-1)*12 = 16+48=64
√delta=8
m₁=-4-8/-2=-12/-2=6
m₂=-4+8/-2=-2

Dla m₁=6 punkt (x,y)= (18,20)
Dla m₂=-2 punkt (x,y)=(2,4)