Zad
znajdz liczby spełniające równanie
a)(x - 3)(2x+5)(4 - 3x)²=0
b)(x +5)(x² + x – 20)(x²- 5)=0
c)(2x² + 9x +9)(9x²+1)=0
D)x³(x – 1)(1 + x)³=0
e)(x³ + 2x)(x³+2)(x³+ x)=0
f)(4x² – 8x +6)(4x²– 8x)(-8x + 6)=0
zad
rozwiąż równanie (postaraj się znaleźć rozwiązanie w jak najprostszy sposób)
a)(2x – 1)² = 100
b)(5 – x)³ = -8
c)(5-2x)²= ( 3 + x)²
d)(x² – 9)³ = (2x² - 10)³
e)x²(x -5) = x²
f)x(3 – 2x) = (3 - 2x)²
g)(x -4)² (2x-7) = (x-4)³(2x-7)
h)x(x – 2)²(x+9)= x(x-2)(x+9)
zad
rozwiąż równanie:
a)243x³ – 1 =0
b)5x³ + 525=0
c)(x+1)³=27
d)(4x-1)³=729
e)(x²+x-6)²=196
f)(x²-7x+18)²=36
prosze o szybkie rozwiązanie potrzebne na jutro

1

Odpowiedzi

2010-02-08T13:50:08+01:00
Znajdz liczby spełniające równanie
a)(x - 3)(2x+5)(4 - 3x)²=0
x-3 = 0 lub 2x +5 = 0 lub 4 -3x = 0
x = 3, lub 2x = -5 lub -3x = -4
x = 3 lub x = -5/2 lub x = 4/3(pierwiastek podwójny)

b)(x +5)(x² + x – 20)(x²- 5)=0
(x + 5)( x²- 5) ( x²+x -20) = 0
(x+5)( x-5)(x+5) (x² +x -20) = 0
(x -5)( x +5)²(x² +x -20 )= 0
x-5 = 0 lub x+5 = 0 lub (x² +x -20) = 0
x = 5 lub x = (-5)₂ lub (x² + x -20 ) = 0
x = (-5)₂- ozn. pierwiastek podwójny
z sstatniego równania obliczam pierwiastki
x² + x -20 = 0
Δ = 1² - 4*1*(-20) = 1 + 80 = 81
√Δ = √81 = 9
x1 = (-1 - 9): 2*1= (-10) : 2 = -5
x2 =(-1 +9): 2*1= ( 8) : 2 = 4

Ostatecznie pierwiastkami równania są:
x = 5, x = (-5)₂, x = (-5) x = 4
x = 5, x = (-5)₃ , x = 4

c)(2x² + 9x +9)(9x²+1)=0
drugie równanie (9x² +1) nie ma pierwiastków, bo całe wyrażenie w nawiasie jest dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej ( nigdy nie będzie równe zero).
wystarczy więc obliczyć pierwiastki z pierwszego wyrażenia.
Z pierwszego równania obliczam pierwiastki

2x² + 9x + 9 = 0
Δ= 9² - 4*2*9 = 81 - 72 = 9
√Δ = √9 = 3
x1= (-9 - 3): 2*2= (-12) : 4 = (-3)
x2 = (-9 + 3): 2*2= (- 6) : 4 = -6/4 = -3/2

Pierwiaskami równia są x = -3 lub x = -3/2

D)x³(x – 1)(1 + x)³=0
x³ = 0 , lub (x-1) = 0 lub (1 +x)³ = 0
x = 0, lub x = 1 lub x = -1

e)(x³ + 2x)(x³+2)(x³+ x)=0
x(x² +2) (x³ +2) x(x² +1) = 0
x²(x² +2)² ( x²+1) = 0
x² = 0
x = 0
Wyrazenia (x² +2)² oraz( x²+1)nie mają pierwiastków, bo całe wyrażenia w jedbnym i drugim nawiasie są dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej ( nigdy nie będą równe zero).

f)(4x² – 8x +6)(4x²– 8x)(-8x + 6)=0
zad
rozwiąż równanie (postaraj się znaleźć rozwiązanie w jak najprostszy sposób)
a)(2x – 1)² = 100
(2x -1)² - 100 = 0
(2x-1 )² - 10² = 0
stosuję wzór skróconego mnożenia a² - b² = (a -b)( a+b)
(2x-1 -10)(2x -1 +10) = 0
(2x -11)( 2x+9) = 0
2x -11 = 0 lub 2x +9 = 0
2x = 11 lub 2x = -9
x = 11/2 lub x = -9/2

b)(5 – x)³ = -8
(5 -x)³ + 8 = 0
(5 -x)³ + 2³ = 0
Stosuje wzór a³ + b³ = ( a +b)( a² -ab +b²)
(5 -x +2)[( 5-x)² - 2(5-x) + 2²] = 0
(7-x) [ 25 -10x +x² -10 +2x +4] = 0
(7 -x) [ x² -8x+19] = 0
7 -x = 0 lub ( x² -8x+19 ) = 0
-x = -7 lub [ Δ = (-8)² -4*1*19 = 64 - 76 = -12]
x = 7 , a wyrażenie w nawiasie nie ma pierwiastków, bo Δ , 0

c)(5-2x)²= ( 3 + x)²
(5-2x)² - (3+x)² = 0
stosuję wzór skróconego mnożenia a² - b² = (a -b)( a+b)
[(5-2x)-(3 +x)] [ (5-2x) + (3 +x)]= 0
[5 -2x -3 -x] [ 5 -2x +3 +x] = 0
[ -3x +2] [ -x +8 ] = 0
-3x +2 = 0 lub -x + 8 = 0
-3x = -2 lub -x = -8
x = 2/3 lub x = 8

d)(x² – 9)³ = (2x² - 10)³
(x² – 9)³ - (2x² - 10)³ = 0
Stosuje wzór skróconego mnożenia a³ - b³ = (a-b)( a² + ab + b²)
[(x² – 9)-(2x² - 10)] [(x² – 9)²+(x²-9)(2x² -10) + (2x² - 10)²] = 0
[x² -9 -2x² +10)] [ (x⁴ -18x² +81 +2x⁴-10x² -18x² +90 + 4x⁴- 40x² +100]=0
[-x² +1)][ x⁴ -18x² +81 + 2x⁴ -28x² +90 +4x⁴- 40x² +100] = 0
[1 -x² ][ 7x⁴-86x²+271]=0
(1-x)(1+x) [ 3x⁴-39x²+91]=0
1-x =0 lub 1+x =0 lub [7x⁴-86x²+271]=0
-x =-1, lub x = -1, lub Δ <0, brak w ostatnim nawiasie pierwiastków
x = 1 lub x = -1

e)x²(x -5) = x²
x² (x-5) -x² = 0
x²(x-5 -1) = 0
x²( x -6) = 0
x² = 0 lub x -6 = 0
x = 0(₂) lub x = 6

f)x(3 – 2x) = (3 - 2x)²
x(3 – 2x) -(3 - 2x)² = 0
(3-2x)[x -(3 -2x) = 0
(3 -2x) ( x -3 +2x) = 0
(3-2x)(3x -3) = 0
3-2x = 0 lub 3x -3 = 0
-2x = -3 lub 3x = 3
x = 3/2 lub x = 1


g)(x -4)² (2x-7) = (x-4)³(2x-7)
(x -4)² (2x-7) - (x-4)³(2x-7) = 0
(x -4)²(2x -7) - (x-4)² (x-4)(2x-7) = 0
[( x -4)²(2x-7)] [ 1 -(x -4)]=0
[( x -4)²(2x-7)] [1 -x+4] = 0
[( x -4)²(2x-7)][ -x +5] = 0
(x-4)²(2x-7)(-x+5) = 0

(x-4)² = 0 lub 2x -7 = 0 lub -x +5 = 0
x = 4(₂) lub x = 7/2 lub x = 5

h)x(x – 2)²(x+9)= x(x-2)(x+9)
x(x – 2)²(x+9)- x(x-2)(x+9) = 0
x(x-2)(x-2) (x+9) - x(x-2)(x+9) = 0
[x(x-2)(x+9)]*[ (x-2)-1]= 0
[x(x-2)(x+9)]*[ x -3] = 0
x(x-2)(x+9)( x-3) = 0
x = 0 lub x-2 = 0 lub x+9 = 0 lub x-3 = 0
x = 0 lub x = 2 lub x = -9 lub x = 3


zad
rozwiąż równanie:

a)243x³ – 1 =0
powinno być 343
343x³ -1 = 0
(7x)³ -1 = 0
(7x -1)[( 7x)² +7x +1] = 0
(7x-1)( 49x + 7x + 1) = 0
7x - 1 = 0 lub 49x + 7x + 1 = 0
7x = 1
x = 1/7 Drugie równanie w nawiasie nie ma pierwiastków


b)5x³ + 525=0
5(x³ + 105) = 0 /:5
x³ + 105 = 0
x³ +(∛105 )³ = 0
(x+ ∛105)[ x² - x(∛105) + (∛105)²] = 0
x + ∛105 = 0 lub drugie wyrażenie jest zawsze dodatnie
x = -∛105

c)(x+1)³=27
( x+1)³ - 27 = 0
(x+1)³ - 3³ = 0
Stosuje wzór skróconego mnożenia a³ - b³ = (a-b)( a² + ab + b²)

[(x +1) -3] [ (x+1)² + 3(x+1) +3²] = 0
( x -2) ( x² +2x +1 + 3x +3 +9 ) = 0
(x-2) ( x² +5x 13) = 0
x-2 = 0
x = 2 , bo drugie wyrażenie jest dodatnie dla kazdej liczby rzeczywistej ( nigdy nie bedzie równe zero)

d)(4x-1)³=729
(4x-1)³-729 = 0
(4x-1)³ - 7³ = 0
Stosuje wzór skróconego mnożenia a³ - b³ = (a-b)( a² + ab + b²)

[(4x-1)-7][ (4x-1)² + 7(4x-1) +7²] = 0
(4x-8) (16x² -8x +1 +7x -7 +49) = 0
(4x -8)( 16x² -x +43 ) = 0
4x -8 = 0
4x = 8
x = 2 ,bo wyrażenie (16x² -x +43 ) jest dodatnie dla kazdej liczby rzeczywistej,nigdy nie będzie równe zero

e)(x²+x-6)²=196
(x²+x-6)² - 196 = 0
(x²+x-6)² - 7² = 0
Stosuje wzór skróconego mnożenia a² - b² = (a-b)(a +b)

[(x²+x-6) -7] [( x²+x-6) + 7] = 0
(x²+x -13) ( x²+x +1) = 0
(x²+x -13) = 0 lub x²+x +1 = 0
Δ = 1² -4*1*(-13)= 1 + 52=53
√Δ = √53
x1 = (-1-√53): 2
x2 = (-1 + √53): 2
dla wyrażenia x²+x +1 = 0 brak pierwiastków,to wyrażenie jest zawsze dodatnie

f)(x²-7x+18)²=36
(x²-7x+18)² - 36 = 0
( x²-7x+18)² - 6² = 0
Stosuje wzór skróconego mnożenia a² - b² = (a-b)(a +b)

[( x²-7x+18) -6] [ ( x²-7x+18 + 6] = 0
( x²-7x+12) ( x²-7x+24) = 0
( x²-7x+12) = 0 lub (x²-7x+24) = 0
Δ = 49-4*1*12 = 1 Δ = 49 - 4*1*24 = 49 - 96 = - 47
x1 = (7-1): 2 = 3
x2 = (7 +1):2 = 4
drugie wyrażenie (x²-7x+24) nie ma pierwiastków, jest dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej
15 4 15