Dywan Sierpińskiego to figura, która powstaje z kwadratu w następujący sposób. W pierwszym etapie należy podzielić kwadrat na dziewięć mniejszych kwadratów i usunąć środkowy z nich.W następnym etapie postępujemy podobnie,tzn dzielimy każdy z pozostałych kwadratów na dziewięć kwadratów i usuwamy środkowy itd.przyjmując że bok pierwszego kwadratu ma długość a,oblicz pole pozostałej części tego kwadratu po piątym etapie.

2

Odpowiedzi

2010-02-09T00:50:05+01:00
Najlepsza Odpowiedź!
2010-02-09T01:24:00+01:00
Pole kwadratu o boku a równe jest a².
W pierwszym etapie usuwamy 1kwadrat (czyli 8⁰)
o boku (⅓)a i polu (¹/₉)a²,
w drugim etapie usuwamy 8 kwadratów (czyli 8¹)
o boku (⅓)²a i polu (¹/₉)²a²,
w trzecim etapie usuwamy 64 kwadraty (czyli 8²)
o boku (⅓)³a i polu (¹/₉)³a²,
w czwartym etapie usuwamy 512 kwadratów (czyli 8³)
o boku o boku (⅓)⁴a i polu (¹/₉)⁴a²,
w piątym etapie usuwamy 4096 kwadratów (czyli 8⁴)
o boku o boku (⅓)⁵a i polu (¹/₉)⁵a².
Obliczamy pole pozostałej części:
a² - [8⁰*(¹/₉)a²+ 8¹*(¹/₉)²a²+ 8²*(¹/₉)³a²+
+ 8³*(¹/₉)⁴a²+ 8⁴*(¹/₉)⁵a²] =
a² - ¹/₉a²[(⁸/₉)⁰ + (⁸/₉)¹ + (⁸/₉)² + (⁸/₉)³ + (⁸/₉)⁴] =
a² - ¹/₉a²[1 + ⁸/₉*(1 + ⁸/₉*(1 + ⁸/₉*(1+ ⁸/₉)))]

{Uwaga!
Można zauważyć, że gdybyśmy tak postępowali dalej to
suma w nawiasie [1 + ⁸/₉*(1 + ⁸/₉*(1 + ⁸/₉*(1+ ⁸/₉ .....)))]
wynosiłaby (zgodnie z ciągiem geometrycznym:
a₁ = 1, q = ⁸/₉ < 1, więc suma Sn = 1/(1 -q) = 1/(1-⁸/₉),
stąd Sn = 1/(¹/₉ ) = 9, więc a² - ¹/₉a²*9 = 0}





1 5 1