Odpowiedzi

2010-02-10T11:41:52+01:00
N, n+1 - dwie kolejne liczby naturalne (n -jest liczbą naturalną)

a=1/n, b=1/(n+1)

1/4- (1/n+ 1/(n+1))= 10* 1/n*1/(n+1)
1/4- [n+1+n]/[n*(n+1)] =10/[n*(n+1)]
1/4- [2n+1]/[n*(n+1)]=10/[n*(n+1)]
1/4=[2n+1]/[n*(n+1)]+10/[n*(n+1)]
1/4=(2n+11)/[n*(n+1)]
Mnożę na krzyż

[n*(n+1)] = 4*(2n+11)
n²+n=8n+44
n²-7n-44=0

Δ=49-4*(-44)=49+176=225
√Δ=15

n1=(7-15)/2=-8/2=-4 odrzucamy, bo nie jest liczbą naturalną, a takie było założenie

n2=(7+15)/2=22/2=11

Zatem szukane n=11.

Odp. a=1/11, b=1/12
  • Roma
  • Community Manager
2010-02-10T12:32:04+01:00
N; n+1 - kolejne liczby naturalne
a - odwrotność liczby n, czyli a = ¹/n
b - odwrotność liczby n+1, czyli b = ¹/n₊₁

Rożnica liczby 1/4 i sumy liczb a i b jest 10 razy większa od iloczynu ab.

¼ - (a + b) = 10 * a * b
¼ - a - b = 10 * a * b /*4
1 - 4*a - 4*b = 40 * a * b
1 - 4 * ¹/n - 4 * ¹/n₊₁ = 40 * ¹/n * ¹/n₊₁
1 - ⁴/n - ⁴/n₊₁ = ⁴⁰/n*(n₊₁)
n*(n₊₁)/n*(n₊₁) - 4*(n₊₁)/n*(n₊₁) - 4*n/n*(n₊₁) = ⁴⁰/n*(n₊₁) /* n*(n₊₁)
n*(n₊₁) - 4*(n₊₁) - 4*n = 40
n² + n - 4n - 4 - 4n - 40 = 0
n² - 7n - 44 = 0
Δ = 49 + 176 = 225
√Δ = 15
n₁ = 7 - 15 / 2 = -8 / 2 = - 4 ( w zał. n∈N, więc to rozwiązanie należy odrzucić)
n₂ = 7 + 15 / 2 = 22 / 2 = 11
stąd
n = 11
czyli
a = ¹/n = ¹/₁₁
b = ¹/n₊₁ = ¹/₁₁₊₁ = ¹/₁₂
Odp. Szukane odwrotności to ¹/₁₁ i ¹/₁₂.