1.W ciagu geometrycznym (an) stosunek piatego wyrazu do szostego wyrazu jest rowny 2. Wiedzac, ze suma pierwszych dzieiscieciu wyrazow jest rowna 4092, wyznacz wyraz pierwszy.
2. Suma trzech pierwszych wyrazow ciagu geometrycznego jest 27 razy wieksza od sumy trzech nastepnych wyrazow tego ciagu. Wiedzac, ze szosty wyraz tegociagu jest rowny 1, oblicz sume tych szesciu poczatkowych wyrazow.

prosze o roziwanaie, nie musicie jakis tluamczen czy notaek pisac:) wystarcza obliczenia
P.S. radze nie spamowac!!

2

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-02-10T18:33:02+01:00
1)
a₅/a₆ = 2
q = a₆/a₅ = 1/2
S₁₀ = (a₁(1-(1/2)¹⁰)/(1-1/2) = 4092
(a₁(1-(1/1024))/(1/2) = 4092
a₁(1023/1024) = 2046
a₁ = (2046*1024)/1023 = 2*1024 = 2048

2)
S₃ = 27(S₆-S₃)
S₃ = 27S₆-27S₃
28S₃ = 27S₆
(28a₁(1-q³)) / (1-q) = (27a₁(1-q⁶)) / (1-q)
28a₁(1-q³)(1-q) = 27a₁(1-q⁶)(1-q)
28a₁(1-q³)(1-q) - 27a₁(1-q⁶)(1-q) = 0
a₁(1-q)(28(1-q³) - 27(1-q⁶)) = 0
a₁(1-q)(28-28q³ - 27+27q⁶)) = 0
a₁(1-q)(1-28q³+27q⁶) = 0
a₁=0 ∨ q=1 ∨ 1-28q³+27q⁶ = 0

dla a₁=0 zachodzi sprzecznosc z zalozeniami

27q⁶ - 27q³ - q³ +1 = 0
27q³(q³-1)-(q³-1) = 0
(q³-1)(27q³-1) = 0
q=1 ∨ q=1/3

a₆=a₁q⁵ = 1
a₁=1/q⁵
a₁=1/1=1 ∨ a₁=1/(1/243)=243

S₆=6 ∨
S₆ = 243 * (1-(1/729))/(1-(1/3)) =243 * (728/279)/(2/3) =
= 243 * (364/243) = 364

odp: S₆ = 6 ∨ S₆ = 364


2 5 2
2010-02-10T22:38:01+01:00
Zadanie 1
a₅ /a₆ =2
S₁₀ = 4092

a₁*q⁵ / a₁*q⁶=2
q=2

S₁₀= a₁*( 1-2¹⁰/ 1-2) = 4092
a₁* (1-1024/ 1-2)= 4092
a₁(-1023/-1) = 4092
a₁* 1023= 4092
a₁= 4

Zadanie 2
S₃ = a₁* (1-q²/ 1-q)=27*a¹( q⁴+q⁵) +1

a₁*( q+q²+q³) = 27* a₁* ( q⁴+q⁵) +1 / a₁
( q+q²+q³) =27*( q⁴+q⁵) +1/a₁

a₁*q⁶=1
q⁶=1/a₁

( q+q²+q³) =27*( q⁴+q⁵) +q⁶
q+q²+q³ -27q⁴-27q⁵-q⁶ =0
q(1+q) -27q⁴(1+q) +q³(1-q²)=0
(1+q)*(q-27q⁴) +q³(1-q²)=0
(1+q)*(q-27q⁴) +q³(q-1)(q+1)=0
(1+q)*(q-27q⁴)*q³(q-1) =0
q=-1 v q=1/3 v q=0 v q= 1

q=0
nie może być bo
a₁*q⁶=1
nić pomnożone przez 0 nie da 1

q=-1
a₁*q⁶=1
a₁=1
nie może być
a₁+a₂+a₃= 3
a₄+a₅ +a₆= 3*27
3 nie równa się 27

tak samo przy q=1
a₁*q⁶=1
a₁=1

q=1/3
1= 1/3⁵*a₁
a₁=243

Sprawdzamy:
a₁=243
a₂=81
a₃=27
a₄=9
a₅=3
a₆=1

243+81+27 = 27*(9+3+1)
351=351

s₆= 243* ( 1- 1/3⁶ / 1-1/3) =243*( 728/729 /2/3)= 243 * (364/243) = 364
2 2 2