Podstawą prostopadłoscianu jest prostokąt o stosunku długości boków 1:2 i polu 32cm ^{2} Przekątna prostopadłościanu tworzy z jego wysokością kąt \alpha ,taki,że sin \alpha= \frac{3}{5}.Wyznacz wymiary prostopadłościanu.

1

Odpowiedzi

2010-02-11T11:53:13+01:00
Więc mamy w podstawie prostokąt gdzie długość jednego boku wynosi "x", a drugiego 2x... pole natomiast wynosi 32cm²:

x*2x=32cm²
2x²=32cm² |:2
x²=16cm² |√
x=4cm

tak więc jeden bok prostokąta wynosi 4cm, a drugi 8cm - mamy już dwa z trzech wymiarów...
teraz wiemy, że przekątna prostopadłościanu tworzy z jego wysokością kąt α, taki, że sinα=⅗

Wygląda to tak:
http://i50.tinypic.com/24ndx.png

widzimy, że mamy trójkąt prostokątny, gdzie krótsza przyprostokątna to przekątna prostokąta.

Liczymy przekątną prostokąta:
(4cm)²+(8cm)²=c²
16cm²+64cm²=c²
80cm²=c²
c=√80cm²=√16cm²*5=4√5cm

odcinek |EG|=4√5cm

sinus w trójkącie prostokątnym to stosunek boku na przeciwko kąta do przeciwprostokątnej:
sinα=a/c
⅗=|EG|/|AG|
⅗=4√5cm/|AG|
3|AG|=20√5cm |:3
|AG|=20√5/3 cm

no i z twierdzenia Pitagorasa wyliczymy H:
(4√5cm)²+H²=(20√5/3cm)²
16*5cm²+H²=400*5/9cm²
80cm²+H²=2000/9cm²
H²=2000/9cm²-80cm²
H²=2000/9cm²-720/9cm²
H²=1280/9cm²
H²=64*10*2/9cm²
H=√(64*10*2/9) cm=8√20/3 cm = 16√5/3 cm
3 3 3