Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-02-11T00:58:00+01:00
Ciąg arytmetyczny a1,a2,... to taki, którego sąsiednie wyrazy różnią się o tę samą wartość, a geometryczny g1, g2, ... - którego sąsiednie wyrazy są mniejsze/większe tyle samo razy razy.
a2-a1=a3-a2=r
g2/g1 = g3/g2 = q

Z danych o tych ciągach wynikają zależności:
a1+a2+a3=6
g1=a1+2
g2=a2+7
g3=a3+24

Ale też:
a2 = a1 +r
a3 = a2 + r = a1 + 2r
a1+a2+a3=3a1+3r=6
a1+r=2, czyli a2 = 2

g1 = a1 + 2 = a2 - r + 2 = 2 - r + 2 = 4 - r
g2 = qg1 = a2 + 7 = (a1 + r) + 7 = 9
g3= qg2=q²g1 = a1 + 2r + 24 = (a1 + r) + r + 24 = 26 + r

g2/g1 = g3/g2
9/(4-r) = (26 + r)/9, musi być r≠4
(26 + r) (4 - r) = 81
-r² -22r + 104 = 81
r² + 22r - 23 = 0
Δ=22²+4*23=576
r1=(-22+24)/2=1
r2=(-22-24)/2=-23
Czyli mamy ciąg:
1, 2, 3 lub
25, 2, -21
W obu wypadkach suma równa się 6.
Sprawdzamy ciąg g1, g2, g3:
1+2, 2+7, 3+24, czyli 3, 9, 27 (iloraz q1=3) lub:
25+2, 2+7, -21+24, czyli 27, 9, 3 (iloraz q2=1/3)

Zamiast obliczać Δ można było równanie doprowadzić do postaci kanonicznej:
r² + 22r - 23 = 0
(r + 11)² -11² -23=0
(r + 11)²=144
r + 11 = ±12
r = 1 lub r=-23

Odp.
Liczby tworzące ciąg arytmetyczny to:
1, 2, 3 lub 25, 2, -21
Liczby tworzące ciąg geometryczny to:
3, 9, 27 lub 27, 9, 3
2010-02-11T01:10:29+01:00
Suma trzech liczb tworzacych ciag arytmetyczny wynosi 6. jezeli do tych liczb dodamy odpowiednio 2,7 i 24 to otrzymamy ciag geometryczny. wyznacz te liczby
a1 + a2 + a3 = 6 - suma 3 wyrazów ciagu arytmetyczngo
a2 = a1 +r
a3 = a1 +2r
a1 + a1+r + a1 +2r = 6
3a1 + 3r = 6 /:3
a1 +r = 2

a1 + 2 , a2 + 7, a3+ 24 wyrazy ciągu geometrycznego
a1 +2, a1 +r +7, a1 + 2r +24

Korzystam ze wzoru na sroskowu wyraz ciagu geometrycznego

a₂² = a1 * a3

(a2+7)² = (a1 +2) ( (a3 +24)
(a1 +r +7)² = (a1 +2)(a1 +2r+24)

Mamy układ 2 równań z 2 niewiadomymi
a1 +r = 2
(a1 +r +7)² = (a1 +2)(a1 +2r+24)

a1 = 2 -r
(2 -r +r +7)² = (2 -r +2)( 2 -r +2r +24)

a1 = 2 - r
(9)² = (4 - r)( r +26)

a1 = 2 -r
(4 - r)( r +26) = 81

a1 = 2 -r
4r + 104 -r² - 26r = 81

a1 = 2 -r
-r² - 22r + 104 -81 = 0

a1 = 2 -r
-r² - 22r + 23 = 0 /*(-1)


a1 = 2 -r
r² + 22r -23 = 0 Δ = (22)² - 4*1*(-23)= 484 +92= 576

a1 = 2 - r
√Δ = √576 =24

a1 = 2 -r
r = (-22-24): 2*1 = (-46) :2 = -23
lub
a1 = 2-r
r = (-22+24): 2*1 = (2) :2 = 1

1) wersja
a1 = 2 - r = 2 -(-23) = 2 +23 = 25
r = -23

lub 2) wersja
a1 = 2 - 1 = 1
r = 1

Obliczam wyrazy ciągu arytmetycznego dla 1) wersji rozwiazania
a1 = 25
r = -23

a1 = 25
a2 = a1 + r = 25 + (-23) =25 - 23 = 2
a3 = a1 + 2r = 25 +2*(-23) = 25 -46 = -21
Obliczam wyrazy ciagu arytmetycznego dla 2) wersji
a1= 1
r = 1

a1 = 1
a2 = a1 + r = 1 + 1 = 2
a3 = a1 +2r = 1 +2*1= 1 + 2 = 3

Obliczam wyrazy ciągu geometrycznego dla 1) wersji rozwiazania
a1 + 2 = 25+ 2 = 27
a2 + 7 = 2 + 7 = 9
a3 +24 = -21 + 24 = 3

Obliczam wyrazy ciagu geomerycznego dla 2) wersji rozwiazania
a1 +2 = 1 + 2 = 3
a2 +7 = 2+ 7 = 9
a3 +24 = 3 + 24 = 27