Odpowiedzi

2016-08-20T01:43:40+02:00

Ta odpowiedź została oznaczona jako zweryfikowana

×
Zweryfikowane odpowiedzi zostały sprawdzone przez ekspertów, dlatego mamy pewność, że są prawidłowe i bezbłędne. Od dawna na zadane.pl znajdziesz tysiące poprawnych odpowiedzi, które zostały sprawdzone przez moderatorów (najbardziej zaufanych członków naszej społeczności).
Zauważmy, że 1dm^3=1\ell.

Długość 2x, szerokość x, wysokość x.
Jednak wody nalano do wysokości x-0,5, stąd też taką wysokość uwzględniamy w obliczeniach. Wszystkie wymiary są w dm.

Aby nasze zapisy miały sens należy założyć, że x \in D=\left(\dfrac{1}{2};\infty\right). W przeciwnym razie wysokość, do której nalano wodę nie byłaby liczbą dodatnią, co nie miałoby sensu.

Akwarium ma zwykle kształt prostopadłościanu (bez górnej podstawy), zatem jego objętość to iloczyn długości, szerokości i wysokości.

2x\cdot x \cdot (x-0,5)=112[\ell]\\
2x^3-x^2-112=0

Otrzymaliśmy równanie wielomianowe stopnia trzeciego niewiadomej x. Należy je rozwiązać.

Wprowadźmy oznaczenie: W(x)=2x^3-x^2-112.
Zauważmy, że wszystkie współczynniki wielomianu  W(x) są liczbami całkowitymi. Możemy więc skorzystać z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych (wymiernych) wielomianu o współczynnikach całkowitych, które mówi, że:
Jeżeli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego tego wielomianu.

W naszym przypadku wyraz wolny jest równy -112. Zauważmy, że w szczególności liczba 4 dzieli  -112 oraz  W(4)=0.
Wobec tego zgodnie z twierdzeniem Bezouta wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian  x-4.
Dzielenie pisemne w załączniku.

Otrzymujemy:
(x - 4)\cdot (2x^2 + 7x + 28)=0\\
x-4=0 \vee 2x^2 + 7x + 28=0\\
x=4 \in D \vee 2x^2 + 7x + 28=0

Jednym z rozwiązań równania jest  x=4 . Jest rozwiązaniem ponieważ w szczególności spełnia przyjęte wcześniej założenie, tzn. 4\in \left(\dfrac{1}{2};\infty\right)=D.
Pozostaje rozwiązać równanie 2x^2 + 7x + 28=0.
Wobec tego:
2x^2 + 7x + 28=0\\
a=2,b=7,c=28\\
\Delta=b^2-4ac\\
\Delta=7^2-4 \cdot 2 \cdot 28=49-224=(-175)\ \textless \ 0

Równanie to jest sprzeczne (nie ma rozwiązań rzeczywistych), ponieważ wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego ("delty") jest ujemna.

Z powyższego wnosimy, że jedynym rozwiązaniem rzeczywistym jest x=4. Wobec tego wymiary akwarium są równe odpowiednio:
2x=2\cdot 4=8dm\\
x=4dm\\
x=4dm

Wysokość samego akwarium również jest równa  4dm, ponieważ tutaj chodzi o wysokość jako taką akwarium a nie o wysokość, do której nalano wodę.

Odpowiedź: Wymiary akwarium to 8dm,4dm,4dm.
4 5 4