Odpowiedzi

2010-02-11T22:20:49+01:00
(a_n) - ciąg geometryczny
a₁=3
a₂=b
a₃=c
z własności ciągu geometrycznego wiemy, że a₂=√(a₁*a₃) czyli
b=√(3b)

(d_n) - ciąg arytmetyczny
a₁=3
a₂=b=a₁+r=3+r
a₅=c=a₁+4r=3+4r

podstawiając otrzymujemy

3+r=√[3*(3+4r)] podnosimy obustronnie do kwadratu
9+6r+r²=9+12r
r²-6r=0
r(r-6)=0
r=0 lub r=6
skoro ciąg geometryczny jest rosnący to arytmetyczny też jest rosnący czyli r=6
b=3+6=9
c=3+4*6=3+24=27

Odp. Szukane liczby to: b=9 i c=27
21 3 21
2010-02-11T22:28:29+01:00
Liczby 3, b, c tworzą w podanej kolejności rosnący ciąg geometryczny te same liczby są w podanej kolejności są pierwszym, drugim i piątym wyrazem ciągu arytmetycznego. oblicz b i c

Rosnący ciąg geometryczny to ciąg o ilorazie q większym od 1:
b/3 = c/b = q, q>1
Ciąg arytmetyczny a(n) to ciąg o wyrazach sąsiednich różniących się o stałą wartość, zwaną różnicą ciągu r:
a2 - a1 = r
a5 - a2 = (a1 + 4r) - (a1 + r) = 3r, czyli:
b - 3 = r
c - b = 3r, więc

c - b = 3(b - 3) oraz
b/3 = c/b

4b = c +9
c = b²/3

Z drugiego c wstawiamy do pierwszego:
4b = b²/3 + 9, mnożymy przez 3
12b = b² + 27
b² - 12b + 27 = 0
Δ=144-4*27=36
√Δ=6
b = (12 ± 6) / 2
b = 3 lub b = 9
więc:
c = 3 lub c = 27
Ale ciąg geometryczny jest rosnący, więc musi być c > b, przez co będzie tylko jedno rozwiazanie:
c = 27 i b = 9

Spr.
Ciąg geometryczny 3, 9, 27 jest rosnący, q=3 > 1
Ciąg 3, 9, 15, 21, 27 jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 6, z których 1, 2 i 5 wyraz są wyrazami powyższego ciągu geometrycznego.

Odp. b=9, c=27




14 3 14