Odpowiedzi

2010-02-12T11:01:31+01:00
A,b,c,d - kolejne wyrazy malejącego ciągu geometrycznego
b+c=24
a+d=36
z własności ciągu geometrycznego mamy:
b=a*q
c=a*q²
d=a*q³ gdzie 0<q<1
a*q+a*q²=24
a*(q+q²)=24
a=24/(q+q²)
a+a*q³=36
[24/(q+q²)]+[24/(q+q²)]*q³ = 36 /:12
[2/(q+q²)]+[2/(q+q²]*q³=3 /*(q+q²)
2+2q³=3q+3q²
2q³-3q²-3q+2=0
2(q³+1)-3q(q+1)=0
2(q+1)(q²-q+1)-3q(q+1)=0
(q+1)(2q²-2q+2-3q)=0
(q+1)(2q²-5q+2)=0
q+1=0 lub 2q²-5q+2=0
q=-1
lub:
2q²-5q+2=0
Δ=25-16
Δ=9
√Δ=3
q₁=(5-3):4
q₁=½
q₂=(5+3):4
q₂=2
Jedynie q₁ spełnia warunek 0<q<1
Stąd
q = ½
a=24/(½+¼)
a=24:¾
a=32
b=32*½
b=16
c=32*¼
c=8
d=32*⅛
d=4
Odp. Szukane liczby to: 32,16,8,4
7 4 7
Najlepsza Odpowiedź!
2010-02-12T13:32:57+01:00
Liczby: a,b,c,d są kolejnymi wyrazami malejącego ciągu geometrycznego. Suma dwóch liczb środkowych jest równa 24, a suma dwóch liczb skrajnych jest równa 36. Wyznacz te liczby.

a,b,c,d - kolejne liczby ciągu geometrycznego
Korzystam ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego
an = a1*q( do potęgi (n-1)
a = a1
b = a1*q
c = a1*q²
d = a1*q³
Z warunków zadania mamy:
b + c = 24
a + d = 36

a1*q + a1*q² = 24
a1 + a1*q³ = 36

a1*(q + q²) = 24
a1 ( 1 + q³) = 36

a1 = 24 : (q + q²)
24:(q + q²) *(1 + q³) = 36

stosuje wzór skróconego mnożenia a³ + b³ = (a + b)(a² - ab +b²)
+
a1 = 24 : (q + q²)
24: [ q (1 + q)] *(1 + q)( 1- q +q²) = 36

a1 = 24 : (q + q²)
24/q*(1-q + q²) = 36 /*q

a1 = 24 : (q + q²)
24(1 -q + q²) = 36q

a1 = 24 : (q + q²)
24 -24q + 24q² -36q = 0

a1 = 24 : (q + q²)
24q² -60q +24 = 0 /:12

a1 = 24 : (q + q²)
2q² -5q + 2 = 0

a1 = 24 : (q + q²)
Δ = (-5)² - 4*2*2 = 25 - 16 = 9

a1 = 24 : (q + q²)
√Δ=√9 =3

a1 = 24 : (q + q²)
q1 = (5 -3):2*2 = (2):4 = 1/2
lub
a1 = 24 : (q + q²)
q2 = (5 + 3): 2*2 = ( 8): 4 = 2

Wyznaczam teraz a1

a1 = 24 : [1/2 + (1/2)²] = 24 : (2/4 + 1/4) =24 :(3/4) = 24*(4/3)=32
q = 1/2

lub
a1 = 24 : [2 + (2)²] = 24 : (2 + 4) =24 : 6 = 4
q = 2
druga wersja rozwiazania nie może być rozwiazaniem, bo z treści zadania wynk,że jest to ciag malejący , więc ciąg jest malejacy dla q= 1/2

Obliczam wyrazy ciagu geometrycznego
1) wersja rozwiazania
a1 =32, q = 1/2
a = a1 = 32
b = a1*q = 32*1/2 = 16
c = a1*q² = 32 *(1/2)² = 32*1/4 = 8
d = a1*q³ = 32*(1/2)³ = 32*1/8 = 4

Odp. a = 32, b= 16, c= 8, d = 4
9 4 9