Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-02-12T11:49:49+01:00
Obliczmy pierwszą pochodną funkcji f(x):
f'(x) = 4x³ - 12x²
Obliczmy drugą pochodną funkcji f(x):
f"(x) = 12x² - 24x

Warunkiem koniecznym do istnienia punktów przegięcia w pewnym punkcie jest to, żeby druga pochodna funkcji w tym punkcie była równa 0.
f"(x) = 0
12x² - 24x = 0
12x (x-2) = 0
Zatem:
f"(x) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy: x=0 lub x=2

Warunkiem wystarczającym do istnienia punktu przegięcia funkcji w pewnym punkcie jest to, aby druga pochodna zmieniała znak w tym punkcie.

Sprawdźmy, czy istnieje punkt przegięcia w punkcie x=0:
Obliczmy:
f"(-1) = 12 + 24 = 36
oraz:
f"(1) = 12 - 24 = -12
Druga pochodna zmienia znak, zatem w punkcie x=0 znajduje się punkt przegięcia funkcji.

Sprawdźmy, czy istnieje punkt przegięcia w punkcie x=2:
Obliczmy:
f"(1) = 12 - 24 = -12
oraz:
f"(3) = 108 - 72 = 36
Druga pochodna zmienia znak, zatem w punkcie x=2 znajduje się punkt przegięcia funkcji.

Odp. Funkcja f(x) posiada dwa punkty przegięcia x=0, x=2.
37 4 37