Odpowiedzi

2010-02-12T16:53:04+01:00
D o w ó d 1.
W każdym trójkącie prostokątnym kwadrat długości najdłuższego boku (przeciwprostokątnej) jest sumą kwadratów długości dwóch pozostałych boków (przyprostokątnych).
Dlaczego? To proste:



Z czterech jednakowych trójkątów i dwóch mniejszych kolorowych kwadratów można ułożyć duży kwadrat. Ten sam duży kwadrat da się ułożyć z czterech trójkątów, doklejonych do czterech boków żółtego kwadratu. To zaś oznacza, że pole żółtego kwadratu jest równe sumie pól kwadratów niebieskiego i zielonego.


D o w ó d 2. (Bhskara )
Długość przeciwprostokątnej, a, b (a>b) długości przyprostokątnych. Umieśćmy cztery \"kopie\" naszego trójkąta, by przylegały do siebie jak na rysunku.

Utworzą one czworokąt (jak na rysunku), a jest to kwadrat, bo wszystkie cztery trójkąty są prostokątne. Bok tego kwadratu ma długość a - b
Zatem licząc pole dużego kwadratu:
c2 = (a-b)2 + 2ab co jest równoznaczne z a2 + b2 = c2
Ten dowód \"szwankuje\" w przypadku a=b, gdyż wtedy kwadrat \"zlewa się\" do punktu.


Wersja przestrzenna
Wersja przestrzenna Twierdzenia Pitagorasa wygląda tak:
W prostopadłościanie kwadrat przekątnej jest równy sumie kwadratów trzech jego boków.