Odpowiedzi

  • Roma
  • Community Manager
2012-08-23T07:57:17+02:00

ciąg x - ciąg (xn)

ciąg y - ciąg (yn)

 

a)

ciąg (xn): 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, ....

Kolejne wyrazy tego ciągu to sumy kolejnych liczb naturalnych:

x₁ = 1

x₂ = 1 + 2 = 3

x₃ = 1 + 2 + 3 = 6

x₄ = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

x₅ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

...........

xn = 1 + 2 + 3 + ... + n

Ciąg liczb 1, 2, 3, ..., n to ciąg arytmetyczny, którego suma wynosi:

S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{1 + n}{2} \cdot n = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}, gdzie n ∈ N+

Zatem:

 x_n = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}; \ n \in N^+

 

b)

Porównując ciąg (yn): 1, 5, 11, 19, 29, 41, 55, 71... z ciągiem (xn): 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, .... zauważamy, że kolejne wyrazy ciągu (yn) to podwojony wyraz ciągu (xn) pomniejszony o 1:

y₁ = 2x₁ - 1 = 2·1 - 1 = 2 - 1 = 1

y₂ = 2x₂ - 1 = 2·3 - 1 = 6 - 1 = 5

y₃ = 2x₃ - 1 = 2·6 - 1 = 12 - 1 = 11

y₄ = 2x₄ - 1 = 2·10 - 1 = 20 - 1 = 19

.......

y_n = 2x_n - 1 = 2 \cdot \frac{n \cdot (n + 1)}{2} - 1= n \cdot (n + 1) - 1

Zatem:

y_n = n \cdot (n + 1) - 1; \ n \in N^+