Odpowiedzi

2010-02-15T11:31:24+01:00
F'(x)=2\sin x \cos x - \cos^2x + \sin^2x=\sin 2x-\cos 2x

Ekstrema:
f'(x)=0 \Leftrightarrow \sin 2x-\cos 2x=0 \\ \\ \sin 2x-\sin \left(\frac{\pi}{2}-2x \right) =0 \\ \\ \sin 2x = \sin \left(\frac{\pi}{2}-2x \right) \\ \\ 2x=\frac{\pi}{2}-2x+2k\pi \\ \\ 4x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \\ \\ x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}

I teraz trzeba rozstrzygnąc dla jakich k są maxima, a dla jakich minima. W tym celu trzeba policzyć drugą pochodną i sprawdzić kiedy jest dodatnia, a kiedy ujemna.

f''(x)=2(\sin2x +\cos2x)

I teraz wstawiamy x i badamy jaki znak ma druga pochodną w punkcie w, którym występuje ekstremum:

f'' \left(\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2} \right) =2 \left[ \sin \left(\frac{\pi}{4}+k\pi \right) + \cos \left( \frac{\pi}{4}+k\pi \right) \right] =2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}*0+\frac{\sqrt{2}}{2}*(-1)^k + \frac{\sqrt{2}}{2}*(-1)^k -\frac{\sqrt{2}}{2}*0\right) = \\ \\ = 2\sqrt{2}*(-1)^k

Czyli druga pochodna jest dodatnia dla parzystych k i ujemna dla k nieparzystych.
Czyli podsumowując. Funkcja w punkcie: x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2} osiąga minimum jeśli k jest parzyste, a dla k nieparzystych osiąga maksimum.