Odpowiedzi

2010-02-16T01:40:17+01:00
Oznaczmy wierzchołki jako ABCD, bok AD ma długość 1, szukamy długości x boku AB. Prosta poprowadzona z wierzchołka B prostopadła do przekątnej AC przecina ją w punkcie M oraz bok AD w punkcie N, natomiast prosta poprowadzona z wierzchołka D przecina przekątną AC w punkcie O.

Z treści zadania wynika że odcinki AM MO i OC mają równą długość, dodatkowo trójkąty AMN i AOD są podobne, więc skoro |AM|=|MO| to także |AN|=|ND|. Stąd |AN|=½|AD|=½.

Z tw. Pitagorasa mamy |AC|²=|AD|²+|CD|², czyli |AC|²=1+x².
Zatem |AM|=⅓|AC|=⅓√(x²+1)
Podobnie z tw. Pitagorasa obliczymy |BN|=√(x²+¼)

Pole trójkąta ABN możemy obliczyć na dwa sposoby, otrzymujemy więc równanie:

½|AB|×|AN|=½|AM|×|BN|

½x=⅓√(x²+1)×√(x²+¼)

¼x²=(x²+1)×(x²+¼)/9

9x²=4x⁴+5x²+1

4x⁴-4x²+1=0

4(x²-½)²=0

x²=½

x=√2/2