Przy każdym wierzchołku 55-kąta foremnego napisano liczbę całkowitą. Żadna z tych liczb nie jest podzielna przez 5. Wykaż, że istnieją takie 2 liczby a i b, napisane przy sąsiednich wierzchołkach tego wielokąta, że liczba a² - b² jest podzielna przez 5.

1

Odpowiedzi

  • Użytkownik Zadane
2009-10-13T22:13:53+02:00
Ogólnie można to zrobić tak. Wszystkie liczby są postaci 5k, 5k+1, 5k+2, 5k+3, 5k+4, gdzie k jest liczbą całkowitą. Jeśli żadna z tych liczb nie dzieli się na 5 to oznacza że nie sprawdzamy postaci 5k. Wtedy szukamy wśród dwóch każdych kombinacji spośród postaci 5k+1, 5k+2, 5k+3 lub 5k+4.
a=5k₁+1, b=5k₂+1
a²-b²=(5k₁+1)²-(5k₂+1)²=25k₁²+10k₁+1-25k₂²-10k₂-1=25k₁²+10k₁-25k₂²-10k₂=5(5k₁²+2k₁-5k₂²-2k₂) zatem dzieli się na 5 takimi liczbami mogą być np 1 i 6, 6 i 11,...
To samo będzie gdy będą tej samej postaci np a=5k₁+2, b=5k₂+2, lub a=5k₁+3, b=5k₂+3 lub a=5k₁+4, b=5k₂+4
a=5k₁+1, b=5k₂+2
a²-b²=(5k₁+1)²-(5k₂+2)²=25k₁²+10k₁+1-25k₂²-20k₂-4=25k₁²+10k₁-25k₂²-20k₂-3 nie dzieli się na 5 bo nie można wyciągnąć piątki przez nawias
a=5k₁+1, b=5k₂+3
a²-b²=(5k₁+1)²-(5k₂+3)²=25k₁²+10k₁+1-25k₂²-30k₂-9=25k₁²+10k₁-25k₂²-20k₂-8 nie dzieli się na 5 bo nie można wyciągnąć piątki przez nawias
a=5k₁+1, b=5k₂+4
a²-b²=(5k₁+1)²-(5k₂+4)²=25k₁²+10k₁+1-25k₂²-40k₂-16=25k₁²+10k₁-25k₂²-40k₂-15=5(5k₁²+2k₁-5k₂²-8k₂-3) zatem dzieli się na 5 takimi liczbami mogą być np 1 i 4, 6 i 9,...
a=5k₁+2, b=5k₂+1
a²-b²=(5k₁+2)²-(5k₂+1)²=25k₁²+20k₁+4-25k₂²-10k₂-1=25k₁²+20k₁-25k₂²-10k₂+3 nie dzieli się na 5 bo nie można wyciągnąć piątki przez nawias
a=5k₁+2, b=5k₂+3
a²-b²=(5k₁+2)²-(5k₂+3)²=25k₁²+20k₁+4-25k₂²-30k₂-9=25k₁²+20k₁-25k₂²-10k₂-5=5(5k₁²+4k₁-5k₂²-2k₂-1) zatem dzieli się na 5 takimi liczbami mogą być np 2 i 3, 7 i 8,...
I są to kolejne liczby zatem mamy rozwiązanie i dalszych kombinacji nie sprawdzam :)
np
2 i 3, żadna z nich nie dzieli się na 5 ale 2²-3²=4-9=(-5) a liczba ta dzieli się na 5 :)
7 i 8, żadna z nich nie dzieli się na 5 ale 7²-8²=49-64=(-15) a liczba ta dzieli się na 5
W treści zadania jest że ISTNIEJĄ więc wystarczy pokazać taka jedną parę i wykazać że dla nich zachodzi