Odpowiedzi

2010-02-18T07:16:06+01:00
Aby pole trójkąta MNP było najmniejsze, punkty M,N,P powinny być środkami boków trójkąta ABC. Wymiary trójkąta MNP będą dokładnie 2 razy mniejsze od ABC, a więc jego pole będzie 4 razy mniejsze. Gdy odległości będą bliskie 0 lub bliskie długości a=10 cm, to pola trójkątów będą prawie identyczne. Można to oczywiście wykazać przy pomocy badania minimum funkcji pola w zależności od długości AM=BN=CP=x
Pole ΔMNP jest różnicą pola ΔABC i 3 identycznych pól ΔAMP, ΔBMC i ΔCNP,
których sumę pól można wyliczyć ze wzoru
3 * ½ x(a-x)sin60=3√3/4 x(a-x)
P(ΔMNP) = 1/4 a²√3 - 3√3/4 x(a-x)
Ponieważ pole ΔABC = 1/4 a²√3 = const, to P(MNP) będzie najmniejsze, gdy odjemnik 3√3/4 x(a-x) będzie największy, ten zaś będzie największy, gdy
x(a-x) będzie największe. Badamy więc funkcję:
y=x(a-x)
Doprowadźmy ją do postaci kanonicznej, skąd łatwo odczytamy maksimum:
y = -x² + ax = -(x-½a)² + ¼a²
y jest największe, gdy -(x-½a)²=0, czyli dla x = ½a, co mieliśmy wykazać, a co łatwo było stwierdzić intuicyjnie.
1 5 1