Rozwiąż równania wielomianowe:
// Potęgi zastąpione znakiem ^, np. ^2 = do potęgi drugiej.

a) (x^2+x)^4-1=0
b) 4x^3-3x-1=0
c) (x^2+2x)^2-x^2=0
d) x^3+x-2=0
e) 2x^4-13x^2+6=0
f) 2x^6-8x^4-2x^2+8=0

Pierwsze rozwiązanie zgodne z odpowiedziami jakie mam w zeszycie ćwiczeń dostaje status najlepszej odpowiedzi.

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-02-18T21:32:56+01:00
A) (x^2+x)^4-1=0
( x² + x)⁴ - 1 = 0
[(x² + x)² -1] [ (x² +x)² + 1] = 0
[ x² +x) - 1][x² +x +1] *[ x⁴+ 2x³ + x² +1] = 0
[ x² + x -1] [ x² + x + 1] [ x⁴+ 2x³ + x² +1] = 0
x² + x -1 = 0 lub x² +x +1 = 0 lub x⁴+ 2x³ + x² +1 = 0
Obliczam Δ z I równnia , bo drugie i trzecie sa dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej
Δ = 1² - 4*1*(-1) = 1 + 4 = 5
√Δ = √5
x₁ = ( -1 - √5) :2*1 = ( -1 - √5):2
x₂ = ( -1 + √5) : 2*1 = (-1 + √5) : 2

Odp. x = ( -1 -√5):2 lub x = ( -1 + √5):2


b) 4x^3-3x-1=0
4x³ -3x -1 = 0

(4x³ -3x -1 ) : (x -1) = 4x² +4x +1
-4x³ +4x²
-----------
= 4x² -3x - 1
- 4x² + 4x
------------
= x - 1
-x + 1
---------
= =
(4x³ -3x -1 ) = (x -1) (4x² +4x +1) = 0

(x -1) (4x² +4x +1) = 0
x-1 = 0 lub (4x²+4x +1) = 0
x = 1 lub Δ = 4² -4*4*1 = 0
Δ = 16 - 16 = 0
Δ = 0
x1 = x2 = (-b) :2a
x1 = x2 = (-4) : 2*4
x1 = x2= (-4) : 8 = (-1/2)
x1 = x2 = (-1/2)
Odp. x = 1 lub x = -1/2


c) (x^2+2x)^2-x^2=0
(x² +2x)² - x² = 0
[(x² +2x) - x]*[ (x² + 2x ) + x] = 0
[ x² + x] *[ x² +3x] = 0
[ x² + x ] = 0 lub *[ x² +3x] = 0
x(x + 1) = 0 lub x( x +3) = 0
x = 0 lub x+1 = 0 lub x = 0 lub x+3 = 0
x = 0 lub x = -1 lub x = 0 lub x = -3

Odp. x = 0(II) lub x = -1 lub x = -3
(II) ozn. pierwiastek podwójny)
d) x^3+x-2=0
x³ +x -2 = 0
( x³ +x -2 ) : ( x-1) = x² +x +2
-x³ +x²
------------
= x² +x -2
-x² +x
--------
= 2x -2
-2x +2
----------
= =
( x³ +x -2 ) = ( x-1) ( x² +x +2) = 0
( x-1) ( x² +x +2) = 0
x-1 = 0 lub x² +x +2 = 0
x = 1 lub Δ = 1² -4*1*2= 1 -8 = -7
Δ < 0 ,więc brak pierwiastków
Odp. x = 1

e) 2x^4-13x^2+6=0
2x⁴- 13 x² + 6 = 0
x² = t
2t² - 13t +6 = 0
Δ = (-13)² -4*2*6= 169 - 48= 121
√Δ = √121 = 11
t1 = (13 - 11) : 2*2 = 2 : 4 = 1/2
t2 = (13 + 11) : 2*2 = 24 : 4 = 6

x² = 1/2 lub x² = 6
x² -1/2 = 0 lub x² -6 = 0
(x- 1/2√2)( x + 1/2√2) = 0 lub (x -√6)( x +√6) = 0
x = (1/2)√2 lub x =( -1/2)√2 lub x = √6 lub x = -√6

f) 2x^6-8x^4-2x^2+8=0
2x⁶ - 8x⁴ - 2x² + 8 = 0
2x⁴(x² - 4) - 2( x² - 4) = 0
(x² - 4) ( 2x⁴-2) = 0
( x -2)(x +2)*2 (x⁴ -1) = 0 /:2
( x -2)(x +2)*( x² -1) (x² + 1) = 0
( x -2)(x +2)(x-1)(x+1) (x² + 1) = 0
ostatnie wyrażenie w nawiasie jest dodatnie dla każdej liczby rzeczywisej ( więc pomijamygo)
( x -2)(x +2)(x-1)(x+1) = 0
x -2 = 0 lub x +2 = 0 lub x -1 = 0 lub x +1 = 0
x = 2 lub x = -2 lub x = 1 lub x = -1

10 3 10