W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 6 wpisano prostokąt tak , że jeden bok pawiera się w przeciwprostokątnych a pozostałe 2 wierzchołki należa do ramion trójkąta wyznacz wymiary prostokąta największym polu?

1

Odpowiedzi

2010-02-18T22:49:25+01:00
Prawidłowo powinno brzmieć:
W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 6 wpisano prostokąt tak , że jeden bok zawiera się w przeciwprostokątnej, a pozostałe 2 wierzchołki należą do ramion trójkąta. Wyznacz wymiary prostokąta o największym polu?

Mowa o trójkącie prostokątnym równoramiennym o bokach:
6, 6, 6√2 (co wyliczyć można z Pitagorasa)
Prostokąt po wpisaniu w trójkąt dzieli go na 3 mniejsze, przy czym 2 z nich są przystające, prostokątne i także równoramienne - wynika to z faktu przylegania kątów ostrych 45⁰. Jeśli oznaczymy przez x bok prostokąta, który nie leży na przeciwprostokątnej, to drugi bok będzie miał długość:
6√2 - 2x
Więc pole prostokąta będzie funkcją x:
P = x(6√2 - 2x) = 6x√2 - 2x²
Po zamianie funkcji do postaci kanonicznej, możemy zbadać, kiedy P będzie największe:
P= -2(x - 1,5√2)² + 9, bo po wymnożeniu będzie:
P = -2(x² - 3√2 + 2,25*2) + 9 = -2x² + 6x√2 - 9 + 9 = 6x√2 - 2x²
Jak widać, skoro P jest sumą wartości dodatniej 9 oraz kwadratu wyrażenia pomnożonego przez liczbę ujemną (-2), więc P będzie największe, jeśli to wyrażenie będzie zerem, bo w każdym innym wypadku pomniejszy pole. Wykres funkcji P(x) jest parabolą z "wąsami" w dół i maksimum w punkcie (1,5√2, 9)
Tak więc musi być:
x - 1,5√2 = 0
x = 1,5√2
Pole dla wartości tej będzie wynosić 9 (patrz postać kanoniczna).
Sprawdzenie:
x(6√2 - 2x) = 1,5√2(6√2 - 2*1,5√2) = 1,5√2 * 3√2 = 9

Odp. Największe pole prostokąta będzie dla prostokąta o wymiarach
1,5√2 i 3√2
2 5 2