Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-02-19T11:49:14+01:00
Z.21
Rozwiąż nierówność
3x² > 8 x + 3
3x² - 8 x - 3 > 0
Δ =(-8)² -4*3*(-3) = 64 + 36 = 100
√Δ = √100 = 10
x1 = [8 - 10]/(2*3) = -2/6 = -1/3
x2 = [8 + 10]/6 = 18/6 = 3
Współczynnik ( przy x²) a = 3 > 0 zatem funkcja
y = 3x² -8x - 3
najpierw maleje, następnie osiąga minimum, a potem rośnie
( ramiona wykresu ,czyli paraboli, zwrócone są ku górze).
Zatem f(x) > ) dla x < x1 oraz f(x) > 0 dla x > x2.
Odp.
3x² > 8x + 3 <=> x ∈ (-∞; -1/3) u ( 3 ; +∞)

z.22
Rozwiąż równanie
2x³ - 18 x = 0
2x*(x² - 9) = 0
2x*(x-3)*(x +3) = 0 < = > x = 0 lub x = 3 lub x = -3
Odp. Pierwiastki tego równania : -3; 0; 3.
z.23
x² + y² - 2x + 4y - 5 = 0
(x -1)² -1 + (y +2)² -4 - 5 = 0
(x - 1)² + (y + 2)² = 10
S = ( 1; -2) - środek tego okręgu
O = ( 0 ; 0 )
pr. SO
y = ax + b
0 = a*0 + b ---> b = 0
-2 = 1*a + b = a + 0 -----> a = -2
Pr. SO
y = -2 x
odp. Prosta przechodząca przez środek okręgu oraz
początek układu współrzędnych ma równanie
y = - 2 x.
z.24
Wyznacz wartość największą i najmniejszą funkcji
f(x) = 2 x² - 5 x + 3
w przedziale < -1; 2 >
Δ = (-5)² -4*2*3 = 25 - 24 = 1
√Δ = 1
x1 = [5 - 1] /4 = 4/4 = 1
x2 = [5 + 1] /4 = 6/4 = 1,5
Przedział < 1 ; 1,5> zawarty jest w przedziale <-1 ; 2>
Dla x ∈ <1 ; 1,5 > funkcja przyjmuje wartości ujemne.
Obliczam najmniejszą wartość funkcji
q = -Δ/ (4a) = -1/(4*2) = -1/8
wtedy x = p = -b/(2a) = -(-5)/(2*2) = 5/4 = 1,25
czyli dla p = 1,25 ∈ <1; 1,5 > funkcja f osiąga minimum.
Jest to równocześnie najmniejsza wartość funkcji w przedziale
< -1 ; 2>.
Dla x ≠ p funkcja przyjmuje wartości większe od q = -1/8
Największą wartość ta funkcja osiągnie w przedziale <-1; 2>
dla x= -1 lub x = 2.
f (-1) = 2*(-1)² - 5*(-1) +3 = 2+ 5 + 3 = 10
f(2) = 2*2² -5*2 + 3 = 8 - 10 +3 = 1
f(-1) > f(2)
Odp. Funkcja f(x) = 2x² - 5x + 3 przyjmuje w przedziale < -1; 2>
najmniejszą wartość równą -1/8 oraz największą wartość
równą 10.
z.27
Kąt α jest ostry i cos α = 8/17.
Oblicz √a i gdy a = tg² α + 1
Obliczę najpierw sin α
sin²α = 1 - cos²α = 1 - (8/17)² = 289/289 - 64/289 = 225/289
sin α = √225 / √289 = 15/17
tg α = sinα / cos α = (15/17) : (8/17) = (15/17)*(17/8) = 15/8
a = tg²α + 1 = (15/8)² + 1 = 225/64 + 64/64 = 289/64
√a = √289 /√64 = 17/8
Odp. 17/8
z.28
A =(-3;-1),B = (53; -2), C = (54;4), D =(-2; 3)
Czy czworokąt ABCD jest równoległobokiem?
Wystarczy sprawdzić czy wektory AB oraz DC są równe.
Wektory równe są równoległe i mają jednakowe długości.
-->
AB = [53-(-3); -2 -(-1)] = [53 +3; -2 + 1] = [56; -1]
-->
DC = [54 -(-2);4 - 3] = [54 +2; 1] = [ 56; 1 ]
Te wektory nie są równe zatem odcinki AB i DC nie są
równoległe.Są natomiast równej długości , bo
I AB I² = 56² + (-1)² = 56² + 1
oraz I DC I² = 56² + 1
Również wektory AD i BC też nie są równe, bo
-->
AD = [1; 4]
-->
BC = [1; 6]
Odp. czworokąt ABCD nie jest równoległobokiem.

z.30 zostało rozwiązane wczoraj.
Patrz II załącznik.
z.31
Za wynajęcie autobusu na wycieczkę uczniowie klasy I A mieli zapłacić 1800 zł.Ponieważ 4 uczniów zrezygnowało z tej wycieczki, każdy z pozostałych uczniów zapłacił o 15 zł
więcej. Oblicz ilu uczniów jest w klasie I A ?
x - ilość uczniów w tej klasie
x - 4 - ilość uczniów, którzy pojechali na wycieczkę
1800 zł - koszt tej wycieczki
1800 zl / x - koszt wycieczki jednego ucznia
1800 zl / (x-4) - koszt wycieczki jednego ucznia po rezygnacji
4 uczniów z wycieczki.
Mamy
1800/( x -4) - 1800/x = 15
[1800x - 1800(x-4)]/[x*(x-4)] = 15
7 200/(x² -4x) = 15
x² - 4x = 7 200 : 15 = 480
x²- 4x - 480 = 0
Δ = (-4)² -4*1*(-480) = 16 + 1920 = 1936
√Δ = 44
x1 = [4 -44]/2 = -40/2 = -20 - odpada ( ilość uczniów nie może być liczbą ujemną)
x = x2 = [4 = 44]/2 = 48/2 = 24
Spr.
1800 : 24 = 75
1800 : 20 = 90
90 - 75 = 15
Odp. W klasie I A jest 24 uczniów.

z.26 ( Patrz załącznik)
AF = h - wysokość Δ ABC oraz pozostałych 3 mniejszych trójkątów.
I BD I = I DE I = EC I = (1/3) I BC I
P Δ ABC = 0,5*I BC I*h
P Δ ADE = 0,5*I DE I * h = 0,5*(1/3) I BC I *h = (1/3)*[0,5*I BC I*h=
= (1/3) P Δ ABC , co należało wykazać.

z.25
Wykaż, że jeśli k i n są liczbami naturalnymi oraz 1≤ k ≤ n, to
k(n - k +1) ≥ n.

1 ≤ k ≤ n <=> 1 ≤ k i k ≤ n <=> 1 - k ≤ 0 i k - n ≤ 0 <=>
<=> (1 - k)*(k - n) ≥ 0 <=> k- n - k² + kn ≥ 0 <=>
<=> kn - k² + k ≥ n <=> k ( n - k +1 ) ≥ n
ckd.
z.29
Ciąg (a,b,c) jest arytmetyczny i a+b +c = 33.
Ciąg ( a, b + 3, c +13) jest geometryczny. Oblicz a,b,c.

Mamy (a,b,c ) ciąg arytmetyczny, więc
b= a+r
c = a + 2r
a+(a+r) +(a +2r) = 33
3a + 3r = 33
a + r = 11 ----> r = 11 - a
b= a + r = 11
b+3 = 11 +3 = 14
c + 13 = a +2r +13
(a, 14, a+ 2r +13) - ciąg geometryczny zatem
14 /a = (a+2r =13) /14
a*(a+2r +13) = 14*14 = 196
a² +2ar + 13 a = 196
a² + 2a*(11 -a) +13 a = 196
a² + 22a - 2a² +13 a - 196 = 0
a² - 35 a +196 = 0
Δ =(-35)² -4*196 = 1225 - 784 = 441
√Δ = 21
a = [35 -21]/2 = 14/2 = 7
lub
a = [35 + 21] /2 = 56/2 = 28
I. Przypadek
a = 7 , b = 11
r = b - a = 11 - 7 = 4
c = a +2r = 7 +2*4 = 7 + 8 = 15
(7,11,15) - ciąg arytmetyczny o różnicy r = 4
(7,14,28) - ciąg geometryczny o ilorazie q = 2
II. Przypadek
a = 28
b = 11
r = b - a = 11 - 28 = -17
c = a + 2r = 28 +2*(-17) = 28 - 34 = -6
(28,11, -6 ) - ciąg arytmetyczny o różnicy r = -17
(28,14,7) - ciąg geometryczny o ilorazie q = 1/2
Odp.
a =7, b = 11, c = 15
lub
a = 28, b = 11, c = -6.
1 5 1