Pilna prosba wielomiany. moga byc pojedyncze zadania szczegolnie trzecie i czwarte. 1. rozwiaz rownania: a. 3x^3+2x^2-3-2=0 ; b. 4x^5-3x^3-x=0 , zad 3. wielomian Wx,przy dzieleniu przez (x-1)daje reszte 2, zas przy dzieleniu przez (x-2L daje reszte 1. wyznacz reszte z dzięnlenia tego wielomianu przez wielomian Px=x^2-3x+2. PROSZE O MOZLIWIE NAJWIECEJ ODPOWIEDZI BEZ linkow.

2

Odpowiedzi

  • Użytkownik Zadane
2010-02-19T12:14:29+01:00
Rozwiązałam częściowo, ale powinno być ok:)

pozdrawiam
  • Roma
  • Community Manager
2010-02-19T13:30:24+01:00
Zad. 1
Moim zdaniem powinno być - 3x a nie - 3
a.
3x³ + 2x² - 3x - 2 = 0
3x³ - 3x + 2x² - 2 = 0
3x(x² - 1) + 2(x² - 1) = 0
(3x + 2)(x² - 1) = 0
(3x + 2)(x - 1)(x + 1) = 0
3x + 2 = 0 lub x - 1 = 0 lub x + 1 = 0
3x = - 2 /:3 lub x = 1 lub x = - 1
x = -⅔ lub x = 1 lub x = -1

Rozwiązaniem równania są liczby: x₁ = -⅔; x₂ = 1; x₃ = - 1

b.
4x⁵- 3x³- x = 0
x(4x⁴ - 3x² - 1) = 0
x = 0 lub 4x⁴ - 3x² - 1 = 0
x = 0 lub
4x⁴ - 3x² - 1 = 0
x² = a
4a² - 3a - 1 = 0
Δ = 9 + 16 = 25
√Δ = 5
a₁ = 3 - 5 / 8 = - 2 / 8 = - ¼
a₂ = 3 + 5 / 8 = 8 / 8 = 1
x² = a₁
x² = - ¼ (sprzeczność, bo nie ma takiej liczby, która podniesiona do kwadratu jest równa - ¼)
x² = a₂
x² = 1
x = 1 lub x = - 1, czyli
x = 0 lub x = 1 lub x = - 1

Rozwiązaniem równania są liczby: x₁ = 0; x₂ = 1; x₃ = - 1

Zad 3.
Twierdzenie o rozkładzie wielomianu:
Jeżeli W oraz P są wielomianami oraz P(x) ≠ 0 (powinien być przekreślony symbol ≡), to istnieją wielomiany Q oraz R takie, że
W(x) = Q(x)*P(x) + R(x), przy czym r(x) ≡ 0 lub st.r(x) < st.p(x).
Wielomian R(x) nazywamy reszta dzielenia W(x) przez P(x), natomiast Q(x) – ilorazem.
Twierdzenie o reszcie
Reszta dzielenia wielomianu W(x) przez (x − a) jest równa wartości tego wielomianu w punkcie a, tzn. W(a).

Z treści zadania oraz z tw. o rozkładzie wielomianu wynika:
W(x) = (x - 1)*Q₁(x) + 1
W(x) = (x - 2)*Q₂(x) + 4
Jak podstawimy w pierwszej równości x = 1 to otrzymamy:
W(1) = 1
Jak podstawimy w drugiej równości x = 2 to otrzymamy:
W(2) = 4
(wynika to też z tw. o reszcie dzielenia przez x - a)

Reszta R(x) z dzielenia W(x) przez P(x) = x² - 3x + 2 jest wielomianem stopnia 1, czyli R(x) = ax + b takim, że:
W(x) = (x² - 3x + 2)*Q₃(x) + R(x) czyli
W(x) = (x² - 3x + 2)*Q₃(x) + ax + b
Podstawiając w tej równości x = 1 i x = 2 otrzymujemy układ:
{ 1 = 0 + a + b
{ 4 = 0 + 2a + b

{ a + b = 1 /*(-1)
{ 2a + b = 4

{ - a - b = - 1
{ 2a + b = 4
___________
a = 3

a + b = 1
3 + b = 1
b = 1 - 3
b = - 2

{ a = 3
( b = - 2

stąd R(x) = 3x - 2

Odp. Reszta z dzielenia W(x) przez P(x) jest równa 3x - 2