Dany jest okrąg o równaniu (x-3)²+(y-2)²=9. Które zdanie jest prawdziwe?

I. Okrąg jest styczny do obydwu osi układu współrzędnych.
II. Prosta x=6 jest styczna do tego okręgu.
III.Prosta y=x nie ma punktów wspólnych z tym okręgiem.
IV. Punkt P=(3,3) leży na okręgu.

a) I, III
b) I,II, III
c) II, III
d) wszystkie

Proszę o odpowiedź wraz z wytłumaczeniem.
Z góry dziękuję ;)

2

Odpowiedzi

2009-10-14T19:33:56+02:00

I. Okrąg jest styczny do obydwu osi układu współrzędnych.
wyznaczam srodek i promien okregu
S(3,2) oraz r=3
narysuj ten okrag i zobaczysz ze styka sie z jedna osiam tylko (Y) czyli I. Fałsz

II. Prosta x=6 jest styczna do tego okręgu.
III.Prosta y=x nie ma punktów wspólnych z tym okręgiem.
narysuj prosta by=x w tym samym ukladzie co okrag i zobaczysz ze ma 2punkty styczne zate III>Falsz
IV. Punkt P=(3,3) leży na okręgu.
(3-3)²+(3-2)²=9
0+1=9 zatem IV.FAłsz

poniewaz I,III,IV fałsz to musi byc odp d


a) I, III
b) I,II, III
c) II, III
d) wszystkie
Najlepsza Odpowiedź!
  • Użytkownik Zadane
2009-10-14T19:34:43+02:00
(x-3)²+(y-2)²=9

Sprawdźmy najpierw IV, wstawiam współrzędne punktu do równania okręgu i sprawdzam czy wyjdzie równość
P(3,3), x=3, y=3,
(3-3)²+(3-2)²=9
0²+1²=9
0+1=9
1=9
Nieprawda zatem punkt P nie należy do okręgu

Sprawdźmy I, jeśli jest styczny do okręgu to znaczy że przechodzi przez punkty o współrzędnych (x,0) i (0,y) jeśli znajdziemy takie punkty to wyjdzie że to zdanie jest prawdziwe zatem
(x-3)²+(0-2)²=9
(x-3)²+4=9
(x-3)²=9-4
x²-6x+9=5
x²-6x+9-5=0
x²-6x+4=0
Δ=36-16=20>0 zatem takie x istnieją dwa zatem okrąg ten przecina oś x w dwóch punktach, zatem nie jest do niej styczny
(0-3)²+(y-2)²=9
9+(y-2)²=9
(y-2)²=9-9
(y-2)²=0
y-2=0, y=2, istnieje takie y więc jest styczny do osi y
Zdanie I jest nie prawdziwe

punkty na prostej x=6 mają współrzędne (6,y), prosta ta musi mieć tylko jeden wspólny punkt z okręgiem więc wstawiamy współrzędne takiego punktu i mamy
(6-3)²+(y-2)²=9
3²+(y-2)²-9=0
9+(y-2)²-9=0
(y-2)²=0, y-2=0, y=2
Mamy jedno rozwiązanie, czyli tylko jeden punkt wspólny, zatem jest styczna, zdanie II - prawdziwe

Rozwiązujemy układ równań do III
(x-3)²+(y-2)²=9
y=x, wstawiam y=x do pierwszego i mam
(x-3)²+(x-2)²=9
x²-6x+9+x²-4x+4-9=0
2x²-10x+4=0
Δ=(-10)²-4*2*4=100-32=64
Mamy dwa rozwiązania, zatem zdanie III jest nieprawdziwe

Nie widzę prawidłowej odpowiedzi chyba że w III będzie że prosta ta ma punkty wspólne z okręgiem wtedy prawidłową odpowiedzią jest C. II, III :)