W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 2 cm i 6 cm. oblicz stosunek długości odcinków, na jakie symetralna przeciwprostokątnej podzieliła dłuższą przyprostokątna tego trójkąta.

odp. stosunek ma wyjść 5:4

2

Odpowiedzi

2010-02-20T09:35:41+01:00
A=6
b=2
c^2= 6^2 + 2^2

długość przeciwprostokątnej
c=2 *pierw z 10


po prowadzeniu symetralnej (symetralna dzieli c na pół)
c' = pierw z 10

cos alfa = a/c= 6/(2 *pierw z 10)

cos alfa = c' /x

6/(2 *pierw z 10) = pierw z 10 /x

x= 20/6 = 10/3


x+y =6

y=8/3

x/y= (10/3): ( 8/3) = 5/4
19 2 19
2010-02-20T09:41:52+01:00
Obliczamy długość przeciwprostokątnej c korzystając
z tw. Pitagorasa
c² = (2cm)² + (6cm)² = 4cm² + 36cm² = 40cm²
c = √(40cm²) = 2√10 cm {√40 = √(4*10)= √4*√10 = 2√10}
symetralna podzieliła przeciwprostokątna na dwie równe części
po każda po √10 cm.
Symetralna jest prostopadła do przeciwprostokątnej,
więc wyznaczyła trójkąt prostokątny, który jest podobny
do naszego trójkąta {można zauważyć, że odpowiednie kąty trójkątów prostokątnych są równe - jeden kąt wspólny, drugi 90⁰ stopni, trzeci można wyznaczyć z sumy kątów w trójkącie},
więc boki trójkątów prostokątnych podobnych są proporcjonalne.
Boki dużego trójkąta :
I przyprostokątna 6cm,
II przyprostokątna 2cm,
przeciwprostokątna 2√10cm
Odpowiednie boki trójkąta wyznaczonego przez symetralną:
I przyprostokątna √10cm
II przyprostokątna y cm
przeciwprostokątna x cm {odcinek odcięty na dłuższej przyprostokątnej dużego trójkąta}
układamy proporcję:
x/(2√10) = √10/6
stąd x = (√10/6) *(2√10) = 2*10/6 = ²⁰/₆ = ¹⁰/₃ = 3⅓
x = 3⅓ cm
obliczamy długość krótszego odcinka odciętego
na dłuższej przyprostokątnej dużego trójkąta
6cm - 3⅓cm = 2⅔ cm
obliczamy stosunek obliczonych długości odcinków:
3⅓ : 2⅔ = ¹⁰/₃ : ⁸/₃ = ¹⁰/₃ * ³/₈ = ¹⁰/₈ = ⁵/₄ = 5:4
Odp. Stosunek długości odcinków, na jakie symetralna przeciwprostokątnej podzieliła dłuższą przyprostokątna tego trójkąta wynosi 5:4.



44 4 44