Długości krawędzi prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny. Objętość bryły jest równa 27, a suma długości jej krawędzi jest równa 13. Znajdź długość najkrótszej krawędzi prostopadłościanu.
To jest zadanie maturalne z operonu.
Moim zdanem jedno z najtrudniejszych zadań maturalnych:P

1

Odpowiedzi

2010-02-20T17:43:30+01:00
(a₁ ,a₁*q,a₁*q²)-ciąg geometryczny(kolejne długości krawędzi)
Założenie:
a₁,q >0 ;
V=27
V=a₁ * a₁*q * a₁*q²
{a₁ * a₁*q * a₁*q²=27
{a₁ + a₁*q + a₁*q²=13

{a₁³ *q³ =27 |()^⅓
{a₁ + a₁*q + a₁*q²=13

{a₁ *q =3 -> a₁=3/q
{3/q + 3 + 3/q*q²=13

{a₁ *q =3 -> a₁=3/q
{3/q + 3 + 3q=13 |*q

{a₁ *q =3 -> a₁=3/q
{3 + 3q + 3q²=13q

3q²-10q+3=0
Δ=100-36=64
√Δ=8
q₁=⅓
q₂=3

a₁=3/q
a₁=3/q₁ v a₁=3/q₂
a₁=3/⅓ v a₁=3/3
a₁=9 v a₁=1
a₁*q₁=3 v a₁*q₂=3
a₁*q₁²=1 v a₁*q₂²=9
Długość najkrótszej krawędzi wynosi 1.