Oblicz, dla jakiej liczby naturalnej n kąt n-kąta foremnego jest o 1,5 (stopień) mniejszy od kąta wielokąta foremnego, który ma n+1 boków. Jest już takie zadanie, ale nie wiem jak je zrobić, gdy ktoś jaśniej o przedstawił byłbym wdzięczny. Pozdrawiam i z góry dziękuje.

1

Odpowiedzi

2010-02-21T03:03:09+01:00
Jest to ciekawe zadanie, ale na szczęście nie bardzo trudne.
Wyjaśnię pokrótce:
n-kąt foremny można najłatwiej narysować dzieląc koło na n równych kątów środkowych - tak jak się dzieli sprawiedliwie tort - a następnie połączyć punkty przecięcia kątów z brzegiem koła (okręgiem). Łatwo wyliczyć, że kąt środkowy n-kąta będzie miał miarę 360⁰/n. Pocięcie koła jak tort powinno nam podpowiedzieć, że n-kąt foremny składa się z n trójkątów równoramiennych o kącie przy wierzchołku 360⁰/n oraz sumie kątów przy podstawie wynoszącej 180⁰ - 360⁰/n. I właśnie ta suma jest kątem n-kąta foremnego, co możemy przedstawić w innej postaci: 180⁰(n - 2)/n.
Różnica kątów (n+1)-kąta i n-kąta wynosi:
180⁰ - 360⁰/(n+1) - (180⁰ - 360⁰/n) = 360⁰[1/n - 1/(n+1)] =
360⁰ (n+1-n) / [(n+1)n]=360⁰ / [(n+1)n]
Skoro różnica powinna wynosić 1,5⁰ więc porównujemy:
360⁰ / [(n+1)n] = 1,5⁰
240 / [(n+1)n] = 1
240 = (n+1)n
240 = n² + n
n² + n - 240 = 0
Δ = 1 + 960 = 961
√Δ = 31
n = (-1 ± 31)/2
Ujemny pierwiastek odrzucamy, więc tylko
n = 15

Spr.
(n+1)-kąt czyli 16-kąt ma kąty równe 180⁰(16-2)/16= 157,5⁰
n-kąt czyli 15-kąt ma kąty równe 180⁰(15-2)/15= 156⁰
Różnica: 157,5⁰ - 156⁰ = 1,5⁰

Odp. n=15
3 3 3