A) Uzasadnij,że suma długości przekątnych wychodzących z jednego wierzchołka sześciokąta foremnego jest mniejsza od obwodu tego sześciokąta.
b) Oblicz sumę długości wszystkich przekątnych sześciokąta foremnego o boku długości a .Ile razy większa jest ta suma od obwodu sześciokąta.

1

Odpowiedzi

2009-04-16T01:47:17+02:00

Ile przekątnych ma sześciokąt foremny ? Odp 3
Jaką długość ma najdłuższa z nich ? Odp 2 * krawędź
2 pozostałe są krótsze.
Ile wynosi obwód szeciokąta ? Odp 6 * krawędź.
Więc gdyby wszytkie trzy przekątne miały jednakową maksymalną długość to suma przekatnych = obwodowi szesciokata, ale ponieważ dwie przekatne są krótsze od najdłuzszej to suma przekatnych < obwodu.

A teraz policzymy długość przekatnych. Najlepiej wyobrazić sobie szesciokat foremny wpisany w okrąg o promieniu a. Wtedy dobrze widac ze sklada sie on z 6 rownobocznych trójkatów o promieniu a. Najdłuższa przekatna jest wtedy srednica tego okręgu czyli ma długość = 2*a.
Krótsze są podwojonymi wysokościami tych małych trójkątów o boku a czyli mają długość ( z twierdzenia Pitagorasa)
h²+(1/2a)²=a²
h²=a²-1/4a²
h²=a²*(1-1/4)
h²=a²*3/4
h=a*√3/2
Długość krótszej przekatnej to podwojona wysokość trójkąta czyli = 2*h = a√3

Szesciokat ma trzy przekatne o długościach a√3,2a,a√3