Byłbym niezmiernie wdzięczny gdyby ktoś mi pomógł.
1.Oblicz pole powierzchni czworościanu foremnego, którego suma długości wszystkich krawędzi wynosi 12 (pierwiastek 5).

2. Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 10 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

2

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-02-24T12:13:48+01:00
Zad. 1
suma krawędzi czworościanu foremnego 12√5
liczba krawędzi 6
długość krawędzi a = 12√5 : 6 = 2√5
pole powierzchni ściany czworościanu foremnego
(trójkąt równoboczny o boku a)
Pś = (a²√3)/4 = (2√5)²*√3/4 = 20*√3/4 = 5√3
pole powierzchni całkowitej czworościanu (suma pól czterech ścian)
4*5√3 = 20√3
Odp. Pole powierzchni czworościanu foremnego jest równe 20√3.

Zad. 2
Krawędź boczna b = 10
α = 60⁰ (kąt nachylenia krawędzi bocznej b do płaszczyzny podstawy, czyli przekątnej podstawy d)
Korzystamy z proporcji trygonometrycznej w trójkącie
prostokątnym o przeciwprostokątnej b (krawędź boczna),
przyprostokątnej h (wysokość ostrosłupa)
i przyprostokątnej ½d (połowa przekątnej podstawy).
Obliczamy długość wysokości ostrosłupa:
sinα = h/b
h = b* sinα = 10* sin 60⁰ = (10*√3)/2 = 5√3
Obliczamy długość przekątnej podstawy (przekątna kwadratu):
cosα = ½d/b
½d = b*cosα = 10* cos 60⁰= 10*½ = 5
d = 10
Obliczamy pole podstawy ostrosłupa (pole kwadratu):
Pp= a²= (d/√2)² = ½d² {przekątna d = a√2, stąd a = d/√2},
Pp = ½*10² = ½*100 = 50
Obliczamy objętość ostrosłupa:
V = ⅓Pp*h = ⅓*50*5√3 = (250√3)/3
Odp. Objętość ostrosłupa jest równa (250√3)/3.



2010-02-24T12:20:09+01:00
1.

Pc = ?
wszystkie krawędzie - 12√ 5
12 √5 / ilość krawędzi
12√ 5 / 6 = 2√ 5
1 krawędź - 2 √ 5

Pole podstawy - a ²×√3 ÷ 4 . = ( 2√5 )² × √3 ÷4. = 5 √3.

Pole powierzchni czworościanu :
5√3 × 4 = 20 √3 .

2.

V = ⅓ × Pp × H

H =½ d √3 = 5√3. < po wykonaniu rysunku i zastosowaniu własności trójkątów >
½ d = 5
d = 10
a - krawędź podstawy = 5 √ 2
pole podstawy - (5 √ 2 )² = 20.

V = ⅓ × 20 × 5√3
V = 100 √3 ÷ 3.