Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku długości 4. Dwie ściany boczne tego ostrosłupa są prostopadłe do płaszczyzny podstawy, a trzecia tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 60°. oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-02-25T10:29:52+01:00
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku a=4.
Ściana trzecia tworzy z płaszczyzną podstawy kąt α o mierze 60°, czyli możemy wyznaczyć trójkąt prostokątny, gdzie:
przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta α=60° to wysokość
ostrosłupa H,
przyprostokątna leżąca przy kącie α=60°to wysokość podstawy hp (podstawa to trójkąt równoboczny),
a przeciwprostokątna to wysokość ściany trzeciej hś.
1) Najpierw wyznaczamy wysokość podstawy hp, korzystając z wzoru na wysokość trójkąta równobocznego (bok trójkąta*√3/2)
hp = a√3/2 = 4√3/2 = 2√3
2) Z proporcji trygonometrycznych wyznaczamy wysokość
ostrosłupa H i wysokość ściany trzeciej (tej pochylonej po kątem
α=60°)
tg α = H/hp, gdzie hp= 2√3, tg α= tg 60°=√3
√3 = H/2√3
stąd wysokość ostrosłupa H = √3*2√3=6
cos α = hp/hś, gdzie hp= 2√3, cosα= cos 60°= ½
½ = 2√3/hś
stąd wysokość ścany trzeciej hś = 2√3: ½ = 2√3*2 = 4√3
3) Obliczamy pole powierzchni podstawy Pp ostrosłupa
(korzystamy z wzoru na pole trójkąta równobocznego
bok do kwadratu*√3/4)
Pp = a²√3/4 = 4²√3/4 = 16√3/4 = 4√3
4) Obliczamy pole powierzchni bocznej Pb ostrosłupa (suma pól powierzchni ścian bocznych)
I ściana ma wymiary a i H (ściana prostopadła do płaszczyzny podstawy, trójkąt prostokątny)
II ściana ma wymiary a i H (ściana prostopadła do płaszczyzny podstawy, trójkąt prostokątny)
III ściana ma wymiary a i hś (ściana nachylona do płaszczyzny
podstawy pod kątem 60⁰, trójkąt równoramienny)
Pb = ½a*H + ½a*H + ½a*hś
Pb = ½*4*6 + ½*4*6 + ½*4*4√3 = 12+ 12+ 8√3 = 24+ 8√3=8(3+√3)
5) Obliczamy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa Pc
Pc = Pp + Pb = 4√3 + 24+ 8√3 = 24 + 12√3 =12(2+√3)
6) Obliczamy objętość V ostrosłupa
V = ⅓Pp*H = ⅓*4√3*6 = 8√3
Odp. Objętość ostrosłupa jest rówa 8√3,
a pole powierzchni całkowitej 12(2+√3).

21 4 21