Zadanie z pracy domowej na poniedziałek:
lp -zbiór wszystkich ciągów, dla ktorych ||x||p =suma (∑|xi|^p)^(1/p) gdzie p>=1
//ta suma jest po i od 1 do nieskonczonosci
dla p=nieskonczonosc
lp=sup|xi| //po i od 0 do nieskonczonosci

K(0,1) kula otwarta o srodku w punkcie 0 i promieniu 1
w l2 to jest zwykle kolo o srodku w 0 i promieniu 1 bez brzegow

Rozwazmy lp dla p∈[1,niesk]
wykaż,ze dla pewnego r (zaleznego od p) w kuli K(0,1) zawiera się nieskonczenie wiele parami rozłącznych kul o promeiniach r.

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-02-25T23:03:21+01:00
Rowazmy nastepujace kule:
en to wektor w postaci(0,0,...1,0...) na n-tym miejsu 1 a na innych 0
K(s*en,r) gdzie s jest jakas liczba R, poniewaz przestrzen jest nieskonczenie wymiarowa to bedzie ich nieskonczenie wiele.
Teraz znajdziemy takie r zeby te kule byly parami rozlaczne i zeby miescily sie w naszej kuli jednostkowej

Kule sa rozlaczne jesli odleglosc miedzy ich srodkami >= sumie ich promieni
w ||x||p oznacza to ze ||sen-sem||p=s*2^(1/p) i to ma byc >=2r
niech s*2^(1/p)=2r dla p<niesk
a)s=2^(1-1/p)r
b)s=2r dla p=niesk

a)
s+r<=1
2^(1-1/p)+r<=1
r<=1/(1+2^(1-1/p))

b)r<=1/3

dla kazdego p z przedzialu[1,+niesk] znalazlem neiskonczenie wiele kul o promieniach r ktore sa parami rozlaczne i wszystkie naleza do zadeklarowanej kuli jednostkowej CKD


1 5 1