We wnetrzu trójkata ABC wybieramy dowolny punkt P. niech punkt A1, B1, C1 oznaczają odpowiednio środki odcinków PA, PB, PC a punkty D E F oznaczają odpowiednio środki boków CA< CB< AB> Uzasadnij, ze a) A1B1 II DE B1C1 II CE C1A1 II CD b) trójkat A1B1C1 podobny/taki sam do trójkata DEC

1

Odpowiedzi

2010-02-26T09:58:01+01:00
Można to łatwo wykazać z tw. Talesa, skoro PA1/PA = PB1=PB = PC1/PC = 1/2, to odcinki A1B1 || AB oraz B1C1 || BC oraz A1C1 || AC i tym samym
A1B1 / AB = B1C1 /BC = A1C1 /AC = 1/2 a także
DE / AB = DF /BC = EF /AC = 1/2, czyli
ΔA1B1C1 ≡ ΔDEF
i każdy z tych trójkątów jest podobny do ΔABC w skali 1/2, czyli każdy odpowiedni wymiar jest 2 razy mniejszy od wymiaru ΔABC. Pole natomiast jest 2²=4 razy mniejsze.
Podobieństwo można wykazać także na podstawie równoległości odpowiednich boków i tym samym równości odpowiednich katów, co jest warunkiem wystarczającym podobieństwa.
3 3 3