Zad. 1.
Oblicz objętość i pole powierzchni stożka otrzymanego w wyniku obrotu trójkąta równobocznego o obwodzie 18 cm wokół wysokości.

Zad. 2.
Przekątna przekroju osiowego walca ma długość 12 cm i tworzy ze średnicą kąt 30o. Oblicz pole powierzchni i objętość walca.

Zad. 3.
Oblicz promień podstawy stożka, którego powierzchnia boczna jest przedstawionym na rysunku wycinkiem koła


Zad. 4.
Do sześciennego pudełka o krawędzi 20 cm włożono piłkę o średnicy 20 cm. Jaką część pojemności pudełka zajmuje piłka?
Przyjmij п = 3.

Zad. 5.
Z napełnionego kieliszka w kształcie stożka odlano połowę zawartości. Do jakiej wysokości sięga płyn, który pozostał w kieliszku?

Obrazki do zadań na stronie
http://www.profesor.pl/mat/na7/pokaz_material_tmp.php?plik=na7/na7_u_schab_030813_1.php&id_m=6153

2

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-02-26T17:29:07+01:00
Zadanie 1
D = 18 = 3a
a = 6

r = a/2 = 3
l = a = 6
h = h = a√3/2 = 3√3

Pp = πr(r + l) = π3(3 + 6) = 27π [cm²]
V = πr²h/3 = π*9*3√3/3 = π9√3 [cm³]

zadanie 2
H - wysokość walca
2r - średnica

tg30° = H/2r
H = r2√3/3

z tw. Pitagorasa:
H² + (2r)² = 12²
(r2√3/3)² + 4r² = 144
4r²/3 + 4r² = 144 |*3
16r² = 432
r² = 27

r = 3√3
H = r2√3/3 = 6

Pp = 2πr(r + H) = π6√3(3√3 + 6) =18π(3 + 2√3)
V = πr²H = 162π

zadanie 3
pole przedstawionego wycinaka stanowi pole boczne szukanego stożka:
P = 270°/360° πl² = 3πl²/4
P = πrl

3πl²/4 = πrl |*(4/πl)
3l = 4r
r = 3l/4 = 3 [cm]

zadanie 4
Vpu = 20*20*20
Vpi = 4π*(20/2)³/3

Vpi/Vpu = (4π*10*10*10/3)/20*20*20 = (4π/3)/8 = 4π/24

dla π = 3:
Vpi/Vpu = 4/8 = 1/2

zadanie 5
liczymy połowę objętości kieliszka:
V/2 = πR²H/6 = π*64*9/6 = 96π

z tw. Talesa:
r/h = R/H = 8/9
r = 8h/9

96π = V/2 = π(8h/9)²h/3
96 = 64h³/243
h³ = 96*9*9*3/64 = 8*4*3*9*9*3/64 = 9³*4/2³
h = 9∛4/2

jak masz pytania to pisz
7 4 7
2010-02-26T20:09:30+01:00
Zad 1.
Trójkąt równoboczny o obwodzie 18 ma bok równy a=18/3=6
Wysokość wynosi h= a√3/2 = 6√3/2 = 3√3
Promień podstawy stożka wynosi r = a/2 = 3
V = ⅓πr²h = ⅓π*3²*3√3 = 9π√3 cm³
P = πr² + πra = πr(r+a) = π*3(3+6)=27π cm²

Zad.2
Przekrój osiowy jest prostokątem, którego jeden bok jest średnicą. a drugi wysokością walca. Kąt 30⁰ między przekątną a średnicą wskazuje, że połowa prostokąta jest połową trójkąta równobocznego, czyli h=1/2 D = 6cm, a średnica 2r=12√3/2 = 6√3, skąd r = 3√3.
P = 2πr² +2πrh=2πr(r+h) = 6π√3(3√3+6)=18π(3+2√3)
V = πr²h = π(3√3)²*6 = 162π

Zad.3
Łuk rozwinięcia bocznego stożka ma długość równą obwodowi koła podstawy. Tworząca l=4 jest promieniem rozwinięcia, będącego częścią koła 240/360=2/3. Czyli długość łuku powierzchni bocznej i zarazem obwód podstawy wynosi:
2/3 * 2πl = 4/3 π * 4 = 16π/3
16π/3 = 2πr
r = 16π/(3*2π) = 8/3

Zad.4
a = 20 cm
Przyjmij п = 3.
2r = 20 => r =10
V(sz) = a³ = 20³ = 8000
V(k) = 4/3 π 10³ ≈ 4000
V(k)/V(sz) = 4000/8000 = ½

Zad. 5.
H=9 cm
R = 8 cm
V = ⅓πR²H
h = szukana wysokość
r = szukany promień
⅓πR²H = 2 * ⅓πr²h
H=2hr²/R².
Stożki są podobne, ponieważ kąt przy wierzchołku jest ten sam, dlatego:
r/R = h/H,
Po podstawieniu:
H=2hr²/R² = 2h (h/H)²
H³ = 2h³
h = H / ∛2 = H(∛2)²/2 = ½H∛4
czyli wysokość po odlaniu połowy płynu będzie wynosiła ok. 0,79 wysokości początkowej, czyli w naszym wypadku ok.7,2 cm. Jak widać średnica nie jest ważna, ważne jest, że stożki są podobne.
3 3 3