Suma pierwszego i czwartego wyrazu ciągu geometrycznego jest równa 48, a suma drugiego wyrazu i piątego jest równa 24:

a) wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu
b) podaj wzór na ogólny wyraz tego ciągu
c) oblicz sumę ośmiu początkowych wyrazów ciągu

1

Odpowiedzi

2010-02-27T22:48:27+01:00
Suma pierwszego i czwartego wyrazu ciągu geometrycznego jest równa 48, a suma drugiego wyrazu i piątego jest równa 24:

a) wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu
a2 = a1*q
a4 = a1*q³
a4 = a1*q³
a5 = a1*q⁴

a1 + a4 = 48
a2 + a5 = 24

a1 + a1*q³ = 48
a1*q + a1*q⁴ = 24

a1(1 + q³)= 48
a1 (q + q⁴) = 24

a1 = 48: ( 1 + q³)
a1 = 24 : ( q + q⁴)

porównuję stronami
48 : ( 1 +q³) = 24 : ( q + q⁴)
z proparcji mamy:
48(q + q⁴) = 24(1 + q³)
48q( 1 + q³) = 24( 1 + q³) /:(1 + q³)
48q = 24
q = 24 : 48
q = 1/2

a1 = 48: ( 1 + q³)
a1 = 48 : [ 1 + (1/2)³]
a1 = 48 : [ 1 + 1/8]
a1 = 48 : 9/8
a1 = 48 *8/9
a1 = 128/3

a1 = 128/3
q = 1/2

b) podaj wzór na ogólny wyraz tego ciągu

a(n) = a1*qdo potęgi(n-1)
a(n) = (128/3)*(1/2)do potęgi (n-1)
a(n) = (128/3)*(1/2)do potęgi n : (1/2)
a(n) = (128/3)*(2/1)*(1/2) do potegi n
a(n) = (256/3)*(1/2) do potegi n

c) oblicz sumę ośmiu początkowych wyrazów ciągu n

a(n) = a1*q do potęgi( n-1)
a(8) = (128/3)*(1/2)⁸⁻¹
a(8) = (128/3)*(1/2)⁷
a(8) = (128/3)* (1/128)
a(8) = 1/3

S(n) = a1*(1-q do potęgi n): (1-q)

S(8) = (128/3)*[ 1- (1/2)⁸] : [ 1 - 1/2]
S(8) = (128/3)*[1 - 1/256] : [ 1/2]
S(8) = (128/3)*[ 255/256]*2
S(8) = (64/3)*( 255/256)
S(8) = 85/4
S(8) = 21¼