Dla funkcji f danej wzorem f(x)= -4x² + 5 (całość przez) 2x-3 wyznacz: a).dziedzinę, b). asymptoty pionowe i ukośne(o ile istnieją), c). przedziały monotoniczności, d). wartość najmniejszą i największą na przedziale [2,3].

Z GÓRY DZIEKUJE!
tu daje jeszcze link do zadania:
http://www.fotosik.pl/showFullSize.php?id=8a54e349efba88ac

1

Odpowiedzi

2009-04-15T23:58:38+02:00
A) dziedzina. Mianownik 2x-3<>0 czyli 2x<>3 czyli x<>3/2
x ε R - {3/2}
b) Asymptoty pionowe. Mogą być w punkcie x=3/2. Będą tam, jeśli granice prawo i/lub lewostronne w tym punkcie beda niewlasciwe czyli = +∞ lub -∞
lim f(x) przy x->3/2- = lim(-4x²+5)/(2x-3) badamy wartość wyrażenia z któego liczymy granicę dla x=3/2. W liczniku mamy -4*(3/2)²+5 czyli -9+5=4, natomiast w mianowniku 2*3/2-3 czyli oczywiscie 0. Ale zbliżając sie do punktu 3/2 z lewej strony zbliżamy sie po wartościach ujemnych a więc 4/0- czyli minus nieskończoność. Analogicznie granica przy x->3/2+ (z prawej strony) da nam plus nieskończoność. Więc asymptota pionowa istnieje i jej równanie to x=1.5
Asymptoty ukośne. Są to linie proste dane wzorem y=ax+b gdzie
a=limf(x)/x dla x dążacego do +/- nieskończoności a b=lim(f(x)-ax) przy x-> +/- nieskończoności.
Więc a=lim(-4x²+5)/(2x-3)x=lim(-4x²+5)/(2x²-3x) = licznik i mianownik dzielimy przez najwyższa potęgę mianownika czyli x² i otrzymujemy
=lim(-4 + 5/x²)/(2-3/x), wyrażenia 5/x² i 3/x dążą do 0 przy x-> +/- nieskończoności czyli granica daje nam -4/2=-2 A więc a=-2
b=lim((-4x²+5)/(2x-3) -(-2x)), wspolny mianownik, = lim((-4x²+5)/(2x-3)+2x(2x-3)/(2x-3))=lim( -4x²+5+4x²+-6)/(2x-3)=lim(-1)/(2x-3), mianownik dązy do nieskończonosci czyli caly ułamek do 0, czyli b=0
Równanie asymptoty ukośnej y=ax+b, y=-2x+0, y=-2x
c) przedziały monotoniczności.
Liczymy I-szą pochodną (ilorazu - jest na to wzór)
f'(x)=(-8x*(2x-3)-(-4x²+5)*2)/(2x-3)²=(-16x²+24x+8x²-10)/(2x-3)²=(-8x²+24x-10)/(2x-3)²
Mianownik zostawiamy w kwadracie, czyli będzie zawsze dodatni, łatwiej będzie przeprowadzic analizę I-szej pochodnej.
Szukamy miejsc gdzie pochodna jest =0, dodatnia i ujemna. Ponieważ mianownik jest zawsze dodatni to sprawdzamy tylko licznik. Licznikiem jest trójmian kwadratowy (parabola) więc aby stwierdzić gdzie licznik =0 obliczymy Δ
Δ=b2-4ac=24²-4*(-8)*(-10)=24*24-320=576-320=256=16²
pierwiastki tego trojmianu x1=(-b-√Δ)/2*a=(-24-16)/2*(-8)=-40/(-16)=2.5=5/2
i x2=(-b+√Δ)/2*a=(-24+16)/2*(-8)=-8/(-16)=0.5=1/2
Parabola skierowana jest ramionami w dół bo przy x² współczynnik jest ujemny (-8) a więc licznik jest ujemny dla xε(-∞,0.5) u (2.5,+∞) ( i w tym przedziale funkcja jest malejąca !) a dodatni w xε(-0.5,2.5) (i tym przedziale funkcja jest rosnąca !)
dodatkowo punkt x=0.5 jest ekstremum (bo pochodna zmienia znak przy przechodzeniu przez ten punkt, z lewej strony ma - a z prawej +, czyli funkcja z lewej jest malejaca a z prawej rosnąca - czyli minimum !!)
Punkt x=2.5 jest extremum i to maximum bo pochodna zmiania sie z + na -, czyli funkcja najpierw rośnie a potem maleje).
d) w przedziale 2,3 jest extremum funkcji w puncie x=2.5 Ile wynosi ? Liczymy wartość funkcji w tym punkcie : f(2.5)=(-4*(5/2)²+5)/(2*5/2-3)=-20/2=-10
Trzeba jeszcze sprawdzic wartosc funkcji na krancach czyli w punktach x=2 i x=3 poczym wybrac z tych trzech wartości najwieksza i najmniejsza.
F(2)=(-4*(2)²+5)/(2*2-3)=-11/1=-11
F(3)=(-4*(3)²+5)/(2*3-3)=-31/3=-10 1/3
Czyli wartość minimalna w podanym przedziale to -11 (w punkcie x=2), wartość maxymalna to -10 (maximum w x=2.5)