Odpowiedzi

2010-03-02T21:40:38+01:00
1. Ciąg liczbowy Fibonacciego.
Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb naturalnych zwanych liczbami Fibonacciego określony rekurencyjnie w sposób następujący:
F0 = 0
F1= 1
Fn = Fn-1+Fn-2, dla n ≥ 2
Początkowe wartości tego ciągu to:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ...

2. Własności ciągu Fibonacciego.
Podstawowy ciąg liczb Fibonacciego to:0,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 itd.
a) Każda liczba w ciągu jest sumą dwóch poprzednich (poza pierwszą i drugą).
Mamy więc do czynienia z ciągiem rekurencyjnym. Ciąg liczbowy Fibonacciego jest
pierwszym ze znanych ciągów tego rodzaju.
b) W wyniku podzielenia każdej z liczb ciągu przez jej poprzednik otrzymuje się iloraz
oscylujący wokół 1.618. w miarę zwiększania się liczb zmniejszają się odchylenia od
tej wartości. Odwrotnością 1.618 jest 0.618. W związku z tym współczynnik każdej
liczby ciągu podzielony przez liczbę następną oscyluje wokół 0.618.
c) Trzecia cecha ciągu polega na tym, że pomiędzy każdymi dwiema liczbami
rozdzielonymi jedną liczbą występuje proporcja 2.618 oraz jej odwrotność, czyli
0.382.
d) Tę samą procedurę można powtórzyć dla liczb bardziej oddalonych od siebie. Na
przykład dla liczb oddzielonych o trzy pozycje współczynniki wynoszą 4.236 i 0.236;
liczby oddalone o cztery pozycje łączą proporcje wyrażone współczynnikiem 6,853 i
0.146.- zniesienia.

3.Właściwości matematyczne ciągu Fibonacciego.
Za pomocą szeregu funkcyjnego, który wytwarza pewien ciąg liczbowy lub funkcyjny, a kolejne wyrazy tego ciągu są współczynnikami w tym rozwinięciu, np. funkcja (1 – 2tx + t2) –1/2 jest tworzącą funkcją dla ciągów wielomianów Legendre'a Pn(x) rachunku macierzowego lub jednej z wielu innych metod, można dojść do zamkniętej formy dla ciągu Fibonacciego.
Fn = Fn-1 + Fn-2
φ2 = φ + 1
φ2 − φ − 1 = 0

4. Istotne współczynniki Fibonacciego.
1 / 1.618 = 0.618
0.618 * 0.618 = 0.382
1.618 * 1.618 = 2.618
2.618 * 1.618 = 4.236
1 - 0.618 = 0.382
1.618 / 0.618 = 2.618
0.618 / 1.618 = 0.382, itd.

5. Złote proporcje.
Liczba 1.618 znana jest jako współczynnik „złotych proporcji” i zapisywana jest za
pomocą 21-szej litery greckiego alfabetu phi (=∅).

6. Obliczanie ciągu Fibonacciego
Ciąg Fibonacciego można numerycznie wyliczyć wprost z definicji,
– obliczamy wartości ciągu po kolei – F0, F1, F2 i tak aż do Fn, za każdym razem korzystając z tego, co już obliczyliśmy. Nie musimy nawet zapamiętywać wszystkich obliczonych dotychczas wartości – ponieważ wystarczą dwie ostatnie.

7. Graficzna reprezentacja dwójkowa
Jeśli kolejne wyrazy ciągu zapisać w systemie dwójkowym, jeden pod drugim, z wyrównaniem do prawej strony to otrzymamy wydłużający się w dół trójkąt, którego elementy powtarzają sie ("czubek" pojawia się poniżej, przy prawej krawędzi, w coraz dłuższym rozwinięciu - pojawia się nad nim "biały trójkąt"), co czyni go podobnym do fraktala. Dla lepszej przejrzystości na rysunku obok wszystkie zera zastąpiono białymi punktami, a jedynki - czarnymi.

8. Ciąg Fibonacciego w przyrodzie.
Matematycy i naukowcy odkryli, że ciąg Fibonacciego można odnaleźć w wielu aspektach
przyrody. Wyznacza on zarówno kształty fizycznych struktur, jak i przebieg zmian w
strukturach dynamicznych. Jednocześnie można stwierdzić, iż zjawiska, których struktura
oparta jest na ciągu Fibonacciego, sprawiają przyjemność zmysłom wzroku i słuchu istot
ludzkich. Dowodem na to może być to, że złotymi proporcjami wyznaczonymi na podstawie
ciągu Fibonacciego posługiwał się w swoim malarstwie Leonardo da Vinci, podobnie jak
Botticelli. Złote proporcje wykorzystano także podczas wznoszenia piramidy Cheopsa w
Gizie i Partenonu w Grecji.
3 3 3
  • KuRo
  • Rozwiązujący
2010-03-02T22:23:28+01:00
Ciąg liczbowy Fibonacciego- spośród wszystkich ciągów liczbowych, które występują, jeden jest szczególnie interesujący. Ciąg ten zawdzięcza swoją nazwę matematykowi z Pizy, Leonardowi, który pod nazwiskiem Fibonacci wydał w 1202 roku słynną księgę Liber Abaci. Ojciec Leonarda nosił przydomek Bonacci,stąd syn został Fibonaccim (filius Bonacci - syn dobrotliwego)Liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności, że kolejny wyraz (z wyjątkiem dwóch pierwszych) jest sumą dwóch poprzednich nazywa się liczbami Fibonacciego i pojawiają się w tak wielu sytuacjach, że wydaje się to niemożliwe.
Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb określony rekurencyjnie w sposób
następujący:

F0 = 0

F1 = 1

Fn = Fn-1 + Fn-2,
dla n ≥ 2

Początkowe wartości tego ciągu to:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

Podstawowy ciąg liczb Fibonacciego to: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...
Każda liczba w ciągu jest sumą dwóch poprzednich (poza pierwszą i drugą). Mamy więc do czynienia z ciągiem
rekurencyjnym. Ciąg liczbowy Fibonacciego jest pierwszym ze znanych ciągów tego rodzaju. W wyniku podzielenia każdej z liczb ciągu przez jej poprzednik otrzymuje się iloraz oscylujący
wokół 1,618 - liczby złotego podziału. W miarę zwiększania się liczb zmniejszają się odchylenia o tej wartości.Matematycy i naukowcy odkryli, że ciąg Fibonacciego można odnaleźć w wielu aspektach przyrody.Taki ciąg liczbowy opisuje liczbę pędów rośliny jednostajnie przyrastającej w latach.W słoneczniku możemy zaobserwować dwa układy linii spiralnych, wychodzących ze środka. Liczba linii rozwijających się zgodnie z ruchem wskazówek zegara wynosi 55 i tylko 34 skręconych w przeciwną stronę.Takie same spirale można zaobserwować na wielu innych roślinach, takich jak kalafior, ananas czy szyszki.
Liczby spiral występujących w tych roślinach są kolejnymi liczbami Fibonacciego.Złotymi proporcjami wyznaczonymi na podstawie ciągu Fibonacciego posługiwał się w swoim malarstwie Leonardo da Vinci i Botticelli. W XX wieku ciąg Fibonacciego stosowany był także przez niektórych kompozytorów do proporcjonalnego porządkowania rytmu lub harmonii. Na ciągu Fibonacciego zbudowane jest między innymi Trio klarnetowe Krzysztofa Meyera.
Złote proporcje wykorzystano także podczas wznoszenia piramidy Cheopsa w Gizie i Partenonu w Grecji.
1 5 1