Odpowiedzi

2010-03-02T23:19:20+01:00
Krawedz czworoscianu foremnego wynosi 4cm. Oblicz V i Pc

a=4cm
h-wysokość ściany bocznej
h=a*(pierwiastek z 3)/2=4*(pierwiastek z 3)/2=2*(pierwiastek z 3)

z Pitagorasa
[(2/3)*h]^2+H^2=a^2
H - wysokość prostopadłościanu

[(2/3)*2*(pierwiastek z 3)]^2+H^2=4^2
(16/3)+H^2=16 /*3
16+3H^2=48 /-16
3H^2=32 /:3
H^2=32/3
H= pierwiastek z (32/3)=4*(pierwiastek z 2)/(pierwiastek z 3)
H=4*(pierwiastek z 6)/3

V=Pp*H
Pp=a^2*(pierwiastek z 3)/4=4^2*(pierwiastek z 3)/4
Pp=16*(pierwiastek z 3)/4=4*(pierwiastek z 3)
V=4*(pierwiastek z 3)*4*(pierwiastek z 6)/3
V=16*(pierwiastek z 18)/3
gdzie:
pierwiastek z 18=3*(pierwiastek z 2)
po podstawieniu i skróceniu:
V=16*(pierwiastek z 2)

Pc=4*Pp=4*4*(pierwiastek z 3)=16*(pierwiastek z 3)
2010-03-02T23:20:16+01:00
Czworościan foremny to bryła zbudowana z 4 trójkątów równobocznych. Jest to zarazem ostrosłup prawidłowy o podstawie trójkąta.
P(c) = 4P = 4 *½ ah = 2ah
h = a√3/2 (z tw. Pitagorasa)
P(c) = 2ah = 2a²√3/2 = a²√3 = 4²√3 = 16√3 cm²
P = ½ah = ½a*a√3/2=¼a²√3

V = ⅓ PH, H=wysokość ostrosłupa
Wysokość H leży w płaszczyźnie przekroju pionowego przechodzącego przez krawędź boczną wysokości podstawy i wysokość ściany bocznej. Trójkąt prostokatny, zktórego wyliczymy H ma boki: a, H i ⅔h.
Imć Pitagoras twierdził, że
a² = H² + (⅔h)², więc
H = √(a² - 4/9h²) = √[(a² - 4/9a²(√3/2)²] = √(⅔a²) = ⅓a√6
Ostatecznie:
V = ⅓ PH = ⅓ * ¼a²√3 * ⅓a√6 = ¹/₃₆ √18 a³ = ¹/₁₂√2a³ =¹/₁₂√2*4³ = 16√2/3 cm³
1 5 1