Odpowiedzi

2010-03-03T01:24:41+01:00
A₇ - a₃ = 8
a₂ * a₇ = 75

a₂=a₁+r
a₃=a₁+2r
a₇=a₁+6r

a₇ - a₃ = 8
a₂ * a₇ = 75

a₁+6r - (a₁+2r) = 8
(a₁+r) * (a₁+6r) = 75

a₁+6r - a₁-2r = 8
(a₁+r) * (a₁+6r) = 75

4r=8 /:4
r=2

(a₁+r) * (a₁+6r) = 75
(a₁+2) * (a₁+6*2) = 75
(a₁+2) * (a₁+12) = 75
a₁²+12a₁+2a₁+24-75=0
a₁²+14a₁-51=0
Δ=14²-4*(-51)=196+204=400
√Δ=20
a₁=(-14-20)/2=-34/2=-17
a₁=(-14+20)/2=6/2=3

Odp
a₁=-17 lub a₁=3 oraz r=2
1 5 1
2010-03-03T01:34:13+01:00
A7 - a3 = 8
a2 * (razy) a7 = 75

Oblicz pierwszy wyraz i różnice ciągu
Korzystam ze wzoru na n-ty wyraz ciagu arytmetycznego
a(n) = a1 + (n-1)*r ( nauczyć się na pamięć tego wzoru !!!!!)

a7 = a1 + (7-1)*r
a7 = a1 + 6r
a3 = a1 + 2r
a2 = a1 +r

Teraz ułożyć należy układ 2 równań z 2 niewiadomymi, wstawiając w miejsce a7, a3, a2 wzory:
a7 = a1 + 6r
a3 = a1 + 2r
a2 = a1 +r

a7 - a3 = 8
a2 * (razy) a7 = 75

* oznacza mnożenie
a1 + 6r -( a1 +2r) = 8
(a1 +r)*(a1 + 6r) = 75

a1 + 6r -a1 -2r = 8 ( a1 redukuje się)
(a1 +r)*(a1 + 6r) = 75

4r = 8
(a1 +r)*(a1 + 6r) = 75

r = 8 : 4 = 2
(a1 +2)*( a1 +6*2) = 75

r = 2
(a1 +2)*(a1 +12) = 75

r = 2
(a1)²+12a1 +2a1 +24 = 75

r =2
(a1)² +14a1+24 - 75 = 0

r = 2
(a1)² + 14a1 - 51 = 0

z drugiego równania obliczam deltę i 2 pierwistki

Δ = (14)² - 4*1*(-51) = 106 + 204 = 400
√Δ = √400 = 20

a1 = (-14 - 20) : 2*1 = (-34): 2 = -17
lub
a1 = (-14 +20) : 2*1 = 6 :2 = 3

r = 2
a1 = -17

lub
r= 2
a1 = 3
1 5 1
2010-03-03T01:46:34+01:00
A7 - a3 = 8
a2 * (razy) a7 = 75
Skoro różnica między wyrazami jest określona, to podejrzewamy, że mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym o różnicy r, tzn. taki, że
a1 = pierwszy wyraz
a2 = a1 + r (drugi wyraz)
a3 = a2 + r = a1 + 2r
a4 = a1 + 3r
......
a(n) = a1 + (n-1)r

Dlatego:
a7 - a3 = a1 + 6r - (a1 + 2r) = 4r = 8, więc
r = 8/4 =2
a2 * a7 = (a1 + r)(a1 + 6r) = a1² + ra1 + 6ra1 + 6r² = a1² + (6r+r)a1 + 6r²=
a1² + 14a1 + 24
Oznaczmy A = a1
A² + 14A +24 = 75
A² + 14A - 51 = 0
Δ= 196 + 4*51 = 400
A₁ = (-14 - 20) / 2 = -17
A₂ = (-14 + 20) / 2 = 3

Tak więc
a1 = -17 lub 3
r = 2
Sprawdzenie:
Dla a1 = -17, a7 = -17+6*2 = -5, a3=-17+2*2=-13, a7-a3=-5-(-13)=8
a2 = -17+2 = -15, a2*a7 = -15 (-5) = 75

Dla a1 = 3, a7 = 3+6*2 = 15, a3=3+2*2=7, a7-a3=15-7=8
a2 = 3+2 = 5, a2*a7 = 5 * 15 = 75

Odp. a1=-17 lub a1=3 oraz r=2

2 5 2