Odpowiedzi

2010-03-05T20:36:19+01:00
Liczby 3x+ 2,7, -2 tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny . Wyznacz x.
plus zadania z załącznika.
a1 = 3x +2
a2= a1*q = 7
a3 = a1*q² = -2

Korzystam ze wzoru na środkowy wyraz trzy wyrazowego ciagu geometrycznego
a1 * a3 = (a2)²
(3x +2)(-2) = 7²
-6x - 4 = 49
-6x = 49 + 4
-6x = 53
x = 53 : (-6)
x = - 53/3
Zad.15.
Dany jest ciąg a(n) = n² - 5n. Które wyrazy tego ciagu są równe zeru ?
a(n) = 0
n² - 5n = 0
n(n-5) = 0
n = 0 lub n - 5 = 0
n = 5
n = 0 nie może być rozwiazaniem,bo kolejność wyrazów ciagu geomerycznego zaczyna się od 1

Odp. 5-ty wyraz ciągu geometrycznego wynosi zero

Zad.16. Liczby 5, 9, 2x-1 tworza w podanej kolejnosci ciag arytmetyczny. Wyznacz x
a1 = 5
a2 = a1 + r = 9
a3 = a1+2r = 2x -1

a1 = 5
a1 + r = 9
a1+2r = 2x -1


a1 = 5
5 + r = 9
5 + 2r = 2x -1

a1 = 5
r = 9 -5 = 4
2r = 2x -1 -5

a1 = 5
r = 4
2*4 = 2x -6

a1 = 5
r = 4
2x -6 = 8

2x = 8 +6 /:2
x = 14 : 2
x = 7

Zad.17. Rozwiazane na początku
Zad. 18.
Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym a(n) = (n -4)(n-7). Które wyrazy tego ciagu są ujemne?

a(n) = (n -4)(n-7)
a(n) < 0
(n-4)(n-7) < 0
n² - 7n - 4n + 28 < 0
n² -11n + 28 < 0
Δ = (-11)² - 4*1*28= 121 - 112 = 9
√Δ = √9 = 3
n1 = (11-3):2*1 = 8 :2 = 4
n2 = (11+3) : 2*1 = 14 : 2 = 7

n∈ ( 4, 7)
liczby 4 i 7 nie należą do zbioru rozwiazań, ponieważjest to przedzał otwarty
Odp. Wyrazy 5 i 6 ciagu a(n) = (n -4)(n-7) są ujemne

Zad.19.
Oblicz wyrazy q15 i a 103 ciagu arytmetycznego (an), w którym suma n poczatkowych wyrazów dana jest wzorem S(n) = 3n² + 5n
S(n) = 3n² + 5n
S(n) = 1/2(a1 +an)*n

1/2(a1 +an)*n = 3n² + 5n /:n
1/2(a1 + an) = 3n + 5 /*2
a1 + an = 6n +10
an = a1 + ( n-1)*r
a1 + a1 + (n- 1)*r = 6n + 10
2a1 + (n -1)*r = 6n + 10

Zad. 20
Oblicz iloraz q ciagu geometrycznego (an) i wyznacz jego wzór ogólny, jesli
a3 = 6 i a5 = 54

a3= a1*q² = 6
a5 = a1*q⁴ = 54

a1*q² = 6
a1*q⁴ = 54

a1 = 6 : q²
6 : q² *q⁴ = 54

a1 = 6 : q²
6*q² = 54 /:6

a1 = 6 : q²
q² = 9

a1 = 6 :q
q² - 9 = 0

a1 = 6 : q
(q -3) (q +3) = 0

a1 = 6 : q lub a1 = 6 :q
q = 3 q = -3

a1 = 6 :3=2 lub a1 = 6 : (-3) = -2
q= 3 q = -2

Zad.21. Ciag (an) jest ciagiem arytmetycznym. Oblicz wyraz jedenasty, gdy trzeci wyraz wynosi (-5) ,a ósmy 5
a3 = -5
a8 = 5

a3 = a1 +2r = -5
a8 = a1 + 7r = 5

a1 +2r = -5
a1 + 7r = 5

a1 = -5 - 2r
-5 -2r +7r = 5

a1 = -5 - 2r
5r = 5 +5

a1 = -5 -2r
r = 10:5 = 2

a1 = -5 -2*2 = -5 -4 = -9
r = 2

a1 = -9
r = 2

a11 = a1 + 10r
a11 = -9 + 10*2
a11 = -9 + 20
a11 = 11
3 5 3