Odpowiedzi

  • Roma
  • Community Manager
2010-03-05T15:32:38+01:00
....{ x = 1 + 2t
k = { y = 3 - t
....{ z = 1 + t, t ∈ R

....{ x = 1 + 2s
l = { y = 5 + 3s
....{ z = - s, s ∈ R

Sprawdzamy warunek przecinania się prostych
| 0 2 -1|
| 2 -1 1|=0*(-1)*(-1) + 2*1*2 + (-1)*2*3 -(-1)*(-1)*2 - 0*1*3 - 2*2*(-1)=
| 2 3 -1|

= 0 + 4 - 6 - 2 - 0 + 4 = 0

|2 -1|....|-1 1|
| 2 3| ≠ |3 - 1|

|2 -1|
| 2 3| = 2*3 - (-1)*2 = 6 + 2 = 8

|-1 1|
|3 - 1| = (-1)*(-1) - 1* 3 = 1 - 3 = - 2
8 ≠ -2

Proste k i l przecinają się

Wyznaczamy współczynniki t i s
{ 1 + 2t = 1 + 2s
{ 3 - t = 5 + 3s
{ 1 + t = - s /*(-1)

{ 2t = 1 + 2s - 1
{ 3 - t - 5 = 3s
{ s = - t - 1

{ 2t = 2s /: 2
{ 3s + t = - 2
{ s + t = - 1

{ t = s
{ 3s + s = - 2
{ s + s = - 1

{ t = s
{ 4s = - 2 /: 4
{ 2s = - 1 /: 2

{ t = s
{ s = - ½
{ s = - ½

t = s = - ½

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia
{ x = 1 + 2t = 1 + 2*(- ½) = 1 - 1 = 0
{ 3 - t = 3 + ½ = 3½
{ 1 + t = 1 - ½ = ½
Punkt (0, 3½, ½) ∈ k

{ 1 + 2s = 1 + 2*(- ½) = 1 - 1 = 0
{ 5 + 3s = 5 + 3 * (- ½) = 5 - 1½ = 3½
{ - s = -(- ½) = ½
Punkt (0, 3½, ½) ∈ l

Proste k i l przecinają się w punkcie (0, 3½, ½)

Wyznaczamy kąt między prostymi
(kąt między prostymi w przestrzeni jest to kąt między wektorami równoległymi do tych prostych)

cos φ = 2*2 + (-1)*3 + 1*(-1) /(√2² + (-1)² + 1²) * (√2² + 3² + (-1)²) = 4 - 3 - 1 / (√4 + 1 + 1) * (√4 + 9 + 1 = 0 /√6 * √14 = 0
cos φ = 0, czyli φ = 90°

Kąt między prostymi wynosi 90°, czyli proste są prostopadłe.
1 4 1