Odpowiedzi

2010-03-05T14:53:48+01:00
Zgodnie z założeniem zadania:
|AG| = |GB|
|BH| = |HC|
|CE| = |DE|
|AF| = |FD|
czyli połączone są środki kolejnych boków.

Twierdzenie:
Odcinek łączący środki boków dowolnego trójkąta jest równoległy do trzeciego boku i równy jego połowie.

Po narysowaniu przekątnej AC, otrzymujemy dwa trójkąty: ABC oraz ACD.

W trójkącie ABC:
GH || AC -----> odcinki są równoległe
|GH| = 0,5|AC|

W trójkącie ACD:
EF || AC
|EF| = 0,5|AC|

Wobec tego:
GH || AC || EF => GH || EF
|GH| = 0,5|AC| = |EF| => |GH| = |EF|

Mamy zatem pierwszą parę boków równych i równoległych.

Teraz rysujemy przekątną BD. Otrzymujemy trójkąty: ABD i BCD:

W trójkącie ABD:
FG || BD
|FG| = 0,5|BD|

W trójkącie BCD:
EH || BD
|EH| = 0,5|BD|

Zatem:
FG || BD || EH => FG || EH
|FG| = 0,5|BD| = |EH| => |FG| = |EH|

Mamy drugą parę boków równych i równoległych.

Ponieważ równoległobok, to czworokąt mający dwie pary boków równych i równoległych, więc czworokąt EFGH jest równoległobokiem.