Odpowiedzi

2010-03-08T15:53:00+01:00
To jest bardzo nieformalny sposób rozwiązania. Dużo lepsze (i bardziej eleganckie) jest rozwiązanie wprost, bądź też dowód nie wprost.
W drugim przypadku byłoby tak:
przypuśćmy przeciwnie, że x+y+z=0 oraz xy+xz+yz>0 dla pewnych liczb x,y,z.
Wtedy x=-(y+z), więc y(-y-z)+z(-y-z)+yz>0. Mamy dalej -y^2-yz-yz-z^2+yz>0, czyli -y^2-yz-z^2>0, tj. y^2+yz+z^2<0. Ostatnia nierówność nie jest jednak prawdziwa dla żadnych liczb y,z. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.