Podręcznik Matematyka 3 z plusem Nowa wersja

Zad.8* str.145
Wykaż, że odcinki łączące środki kolejnych boków dowolnego czworokąta tworzą równoległobok.
Wskazówka:Podziel czworokąt na 2 trójkąty i skorzystaj z zadania 7.
A zadanie 7 brzmi tak.
7.Korzystając z twierdzenia odwrotnego do Tw.Talesa, uzasadnij, że dla dowolnego trójkąta ABC odcinek łaczący środki boków AC i BC jest równoległy do boku AB.Uzasadnij, że odcinek ten jest dwa razy krótszy od boku AB.

Bardzo proszę o zrobienie zadania na poniedziałek ;].
Jeśli konieczne jest zrobienie do tego rysunku proszę o wytłumaczenie jak i co ^^
Daję naj. ;*

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-03-06T22:08:59+01:00
No to najpierw zrobię zadanie 7. Udowodnienie że są równoległe:
-z twierdzenia Talesa wiemy że jeżeli zachodzi proporcja ad/ae = bd/ce to odcinki de i bc są równoległe(rys. tales.jpg). W naszym przypadku d jest środkiem ab, a e jest środkiem ac z czego wynika, że ad=bd oraz ae=ce.
Czyli równanie ad/ae = bd/ce możemy przekształcić w bd/ce = bd/ce co jest prawdą, więc na pewno oba odcinki są równoległe :)

Udowodnienie, że de = 1/2bc :
z działań na wektorach wiemy wynika, że:
bc+ce+de+bd=0
de-ad-ae=0
wiemy,że: ad=bd oraz ae=ce, więc można to zapisać tak:
bc+ce+de+bd=0
de-bd-ce=0
po dodaniu stronami wychodzi nam:
bc+ce+de+bd+de-bd-ce=0
bc+2de=0
bc=-2de
i wychodzi że bc jest 2x większe od de (minus oznacza tylko tyle, że wektory mają przeciwny zwrot).

Teraz przechodząc do zadania 8 z rysunku czworokat.jpg widzimy, że dzieląc dowolny czworokąt na dwa równe trójkąty mamy podobieństwo z trójkątem z zadania 7, czyli oba odcinki de są równe i do siebie równoległe, więc na pewno utworzoną figurą jest równoległobok.


Mam nadzieję, że w miarę zrozumiale wytłumaczyłem. W razie czego pytaj śmiało ;)