1.oblicz pole powierzchni pc i v graniastoslupa. a)czworokatnego b)trojkatnego c)szesciokatnego jezeli wszystkie jego krawedzie maja dlugosc 4 cm...zadanie drugie oblicz v i pc ostroslupa prawidlowego a)czworokatnego b)trojkatnego c)szesciokatnego.jezeli krawedz podstawy ma 4cm a wysokosc 10cm.. prosze o dobre rozwiazania bede wdzieczna.

1

Odpowiedzi

2010-03-08T10:36:29+01:00
Pole graniastosłupa jest sumą pól podstaw i ścian bocznych, które są prostokątami - w tym zadaniu identycznymi, ponieważ mowa o graniastosłupie o równych bokach i można domniemać, że chodzi o graniastosłup prosty (niepochyły). Dokładniej mówiąc ściany boczne są kwadratami, których liczba zależy od liczby boków podstawy.
a) Chodzi tu oczywiście o sześcian
V = a³ = 4³ = 64 cm³
Pc = 6a² = 6 * 16 = 96 cm²

b)
V = Pp* h = Pp * a, gdzie Pp = pole podstawy
Pc = 2Pp + 3ah = 2Pp + 3a²
Pp = 1/2 a * a√3/2 = 1/4 *a² √3
V = 1/4 *a² √3 * a = 1/4 *a³ √3 = 1/4 *4³ √3 = 16√3 cm³
Pc = 2*1/4 *a² √3+3a² = a²(√3/2 + 3) = 48 + 8√3 cm²

c)
Pp = 6 * 1/4 *a² √3 (=6 trójkątów równobocznych)
V = 3/2 a² √3 * a = 3√3/2 * a³ = 96√3 cm³
Pc = 2 * 6 * 1/4 *a² √3 + 6a² = 3a²(√3 + 2) = 96 + 48√3 cm²

Zad. 2
Ostrosłup prawidłowy to ostrosłup, którego podstawa jest wielokątem foremnym, a rzut wierzchołka na podstawę pokrywa się ze środkiem podstawy.
V = ⅓ Pp H
Pc = Pp + n*(½ah), n=liczba boków podstawy, h=wysokość ściany bocznej, która zawsze jest trójkątem równoramiennym
a)
Pp = a²
V = ⅓a² * H = 1/3 * 4² * 10 = 160/3 = 53 ⅓ cm³
h = √[H²+(a/2)²] = √104 = 2√26 cm (z tw. Pitagorasa)
Pc = 4² + 4(½*4*2√26) = 16(1 + √26) cm²
b)
Pp = 1/4 *a² √3 = 4√3 cm²
V = ⅓ * 4√3 * 10 = 40/3 * √3 cm³
h = √[H²+(1/3h')²], gdzie h'=a√3/2=wysokość podstawy
h = √(H²+a²/12) = √(100 + 4/3) = √(304/3) = 4√(19/3) cm
Pc = 4√3 + 3* ½*4*4√(19/3) = 4√3 + 8√57 cm²
c)
Pp = 6 * 1/4 *a² √3 = 3/2a² √3
V = 3/2a² √3 * 10 = 15a² √3 cm³
h = √[H²+h'²], gdzie h'=a√3/2=wysokość jednego z 6 trójkątów podstawy
h = √(H²+3/4 a²) = √112 = 4√7
Pc = 3/2a² √3 + 6*½ah = 3/2*4² √3 + 6*½*4*4√7 = 24√3 + 48√7 = 24(√3+2√7) cm²

Mam nadzieję, że się nie pomyliłem...