Zadania maturalne pr
proszę o rozwiązanie + tłumaczenie

1) wykaż, że pole czworokąta wypukłego jest równe połowie iloczynu jego przekątnych i sinusa kąta zawartego między nimi.
2) Kąt przy wierzchołku C trójkąta ABC jest prosty. Na przedłużeniu przeciwprostokątnej odmierzono za punktem B odcinek BD (B leży między A i D) o długości równej długości przyprostokątnej BC. wyznacz długość odcinka CD jeśli wiadomo że IBCI= 35/3 IACI=40
3)Dany jest trójkąt prostokątny ABC o kącie prostym przy wierzchołku C. promień okręgu wpisanego jest równy r. Wykaż, że pole trójkąta ABC pomniejszone o r^2 jest równe r*IABI

2

Odpowiedzi

  • Użytkownik Zadane
2010-03-09T20:40:14+01:00
1 Odpowiedź w załączniku
4 5 4
Najlepsza Odpowiedź!
2010-03-09T21:00:25+01:00
Zadanie 1
a - jedna przekątna
b - druga
Na rysunku d jest równoległe do b.

Pole czworokąta to pole dwóch trójkątów o podstawie równej jednej z przekątnych:
P = bh₁/2 + bh₂/2 = b(h₁ + h₂)/2 = bh/2
sinα = h/a
P = bh/2 = ab*sinα/2

zadanie 2
z tw. Pitagorasa:
|AB| = √(40² + (35/3)²) = 125/3
cos(180° - 2α) = - cos2α = - (35/3)/(125/3) = - 35/125 = - 7/25

z tw. cosinosów
x² = 2* (35/3)² - 2* (35/3)² * cos(180° - 2α)
x² = 2* (35/3)² (1 + 7/25) = 2* (35/3)² * 32/25 = 64/25 (35/3)²
x = 8*35/3*5 = 56/3

zadanie 3
Trzeba sobie przypomnieć, że dwie nierównoległe styczne do tego samego okręgu mają równe odcinki od punktów styczności do punktu przecięcia.

Pole trójkąta prostokątnego to połowa iloczynu przeciwprostokątnych:
P - r² = (a + r)(b + r)/2 - r² = (ab + r(a + b) + r²) - 2r²)/2 = (ab - r² + r(a + b))/2

z Pitagorasa:
(a + b)² = (a + r)² + (b + r)²
a² + 2ab + b² = a² + b² + 2r(a + b) + 2r²
ab = r(a + b) + r²
ab - r² = r(a + b)

P = (ab - r² + r(a + b))/2 = 2r(a + b)/2 = r(a + b) = r*|AB|
jak masz pytania to pisz na pw
4 3 4