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Najlepsza Odpowiedź!
2010-03-09T22:52:25+01:00
Zad.2.1
a)
a=8
c=16
<B=60°

b²=a²+c²-2ac cos60°
b²=8²+16²-2*8*16*½
b²=64+256-128
b²=192=64*3
b=8√3

a²+b²=c²
8²+(8√3)²=16²
64+192=256
256=256
zatem jest to trójkąt prostokątny
czyli
<C=90°
<A=90°-60°=30°

b)
a=5
b=7
<C=60°

c²=a²+b²-2ab cos60°
c²=5²+7²-2*5*7*½
c²=25+49-35
c²=74-35
c²=39
c=√39

a²=c²+b²-2cb cosA
5²=(√39)²+7²-2*7*√39 cosA
25=39+49-14√39 cosA
25=88-14√39 cosA
14√39 cosA=88-25
14√39 cosA=63 /:(14√39)
cosA=63/14√39 *√39/√39
cosA=63√39/(14*39)
cosA=63√39/546
cosA=3√39/26≈0,7205
<A=44°

<B=180°-(60°+44°)=180°-104°
<B=76°

Zad.2.2
a=2√3
b=3-√3
c=3√2

<A
a²=b²+c²-2bc cosA
(2√3)²=(3-√3)²+(3√2)²-2(3-√3)(3√2) cosA
4*3=9-6√3+3+9*2-6√2(3-√3)cosA
12=12-6√3+18-6√2(3-√3)cosA
6√2(3-√3)cosA=18-6√3
6√2(3-√3)cosA=6(3-√3) /:6(3-√3)
√2 cosA=1 /:√2
cosA=1/√2 *√2/√2
cosA=√2/2
<A=45°

<C
c²=a²+b²-2ab cosC
(3√2)²=(2√3)²+(3-√3)²-2(2√3)(3-√3) cosC
9*2=4*3+9-6√3+3-4√3(3-√3) cosC
4√3(3-√3)cosC=12+12-18-6√3
4√3(3-√3)cosC=6-6√3
(12√3-12)cosC=6(1-√3)
12(√3-1)cosC=-6(√3-1) /:12(√3-1)
cosC=-6(√3-1)/12(√3-1)
cosC=-½
<C=120°

Zad.2.3
a=3
b=4
c=6

a²=b²+c²-2bc cosA
3²=4²+6²-2*4*6 cosA
9=16+36-48cosA
48 cosA=52-9
48 cosA=43 /:48
cosA=43/48≈0,8958

b²=a²+c²-2ac cosB
4²=3²+6²-2*3*6 cosB
16=9+36-36cosB
36cosB=45-16
36cosB=29 /:36
cosB=29/36≈0,8055

c²=a²+b²-2ab cosC
6²=3²+4²-2*3*4 cosC
36=9+16-24 cosC
24cos C=25-36
24cosC=-11 /:24
cosC=-11/24
cosC=-0,4583

Zad.2.4

a=1
b=√2
c=√5
Największy kąt trójkąta leży naprzeciw największego boku

największy bok to c=√5

c²=a²+b²-2ab cosC
(√5)²=1²+(√2)²-2*1*√2 cosC
5=1+2-2√2 cosC
5=3-2√2 cosC
2√2 cosC=3-5
2√2 cosC=-2 /:2√2
cosC=-1/√2 *√2/√2
cosC=-√2/2
zatem <C=135°

Zad.2.5
a=12
b=6
c=9

c*a*cosB=?

b²=a²+c²-2ac cosB
6²=12²+9²-2*12*9 cosB
36=144+81-216 cosB
216 cosB=225-36
216cosB=189 /:216
cosB=189/216
cosB=7/8

c*a*cosB=9*12* 7/8=9*3*7/2=189/2=94,5

Zad.2.6
dane:
b,c, sinA=⅘

sin²A+cos²A=1
(⅘)²+cos²A=1
cos²A=1-16/25
cos²A=9/25
cosA=⅗
lub
cosA=-⅗

a²=b²+c²-2bc cosA dla cosA=⅗
a²=b²+c²-2bc*⅗
a²=b²+c²-⁶/₅bc
a=√(b²+c²-⁶/₅bc)

a²=b²+c²-2bc cosA dla cosA=-⅗
a²=b²+c²-2bc*(-⅗)
a²=b²+c²+⁶/₅bc
a=√(b²+c²+⁶/₅bc)

Zad.2.7
a=2
b=3
c=4

a²=b²+c²-2bc cosA
2²=3²+4²-2*3*4 cosA
4=9+16-24cosA
24cosA=25-4
24cosA=21 /:24
cosA=21/24
cosA=7/8=0,875
<A=29°

b²=a²+c²-2ac cosB
3²=2²+4²-2*2*4 cosB
9=4+16-16cosB
16cosB=20-9
16cosB=11 /:16
cosB=11/16=0,6875
<B=46°

c²=a²+b²-2ab cosC
4²=2²+3²-2*2*3 cosC
16=4+9-12cosC
12cosC=13-16
12cosC=-3 /:12
cosC=-3/12
cosC=-¼
<C=105°

ha/b=sinC
ha=b*sin105°
ha=3*sin(90°+15°)
ha=3*cos15°
ha=3*0,9659
ha=2,8977

hb/c=sinA
hb=c*sin29°
hb=4*0,4848
hb=1,9392

hc/a=sinB
hc=a*sin46°
hc=2*0,7193
hc=1,4386

P=½a*ha gdzie ha-wysokość opuszczona na bok a
P=½*2*2,8977
P=2,8977≈2,9

r-promień okręgu wpisanego w trójkąt
r=2P/(a+b+c)
r=2*2,9/(2+3+4)
r=5,8/9
r=0,64

R-promień okręgu opisanego na trójkącie
R=a*b*c/4P
R=(2*3*4)/(4*2,9)
R=24/11,6
R=2,07

Zad.2.8
α=30°

e,f-przekątne rombu

½e/a=sin(½*30°)
½e=a*sin15° /*2
e=2a*0,2588
e=0,5176a

½f/a=cos(½*30°)
½f=a*cos15° /*2
f=2a*0,9659
f=1,9318a

Zad.2.9
a=m²-2m
b=m²-1
c=m²-m+1

a²=b²+c²-2bc cosA
(m²-2m)²=(m²-1)²+(m²-m+1)²-2(m²-1)(m²-m+1) cosA

m⁴-4m³+4m²=
=m⁴-2m²+1+m⁴+2m²(-m+1)+(-m+1)²-2(m²-1)(m²-m+1) cosA

2(m²-1)(m²-m+1)cosA=
=2m⁴-2m²+1-2m³+2m²+m²-2m+1-m⁴+4m³-4m²

2(m²-1)(m²-m+1)cosA=m⁴+2m³-3m²-2m+2

W(m)=m⁴+2m³-3m²-2m+2
W(1)=1⁴+2*1³-3*1²-2*1+2=1+2-3-2+2=0
W(-1)=(-1)⁴+2*(-1)³-3*(-1)²-2*(-1)+2=1-2-3+2+2=0
Przy dzieleniu (m⁴+2m³-3m²-2m+2) przez (m-1)(m+1)=(m²-1)
otrzymujemy: m²+2m-2

2(m²-1)(m²-m+1)cosA=(m²-1)(m²+2m-2) /:(m²-1)
2(m²-m+1)cosA=(m²+2m-2) /:2(m²-m+1)
cosA=(m²+2m-2)/2(m²-m+1)

b²=a²+c²-2ac cosB
(m²-1)²=(m²-2m)²+(m²-m+1)²-2(m²-2m)(m²-m+1) cosB

m⁴-2m²+1=
=m⁴-4m³+4m²+m⁴-2m³+2m²+m²-2m+1-2(m²-2m)(m²-m+1) cosB

2(m²-2m)(m²-m+1) cosB=m⁴-6m³+9m²-2m
2m(m-2)(m²-m+1) cosB=m(m³-6m²+9m-2) /:m
2(m-2)(m²-m+1) cosB=(m³-6m²+9m-2)

W(m)=m³-6m²+9m-2
W(2)=2³-6*2²+9*2-2=8-24+18-2=26-26=0
Przy dzieleniu (m³-6m²+9m-2) przez (m-2)
otrzymujemy: m²-4m+1

2(m-2)(m²-m+1) cosB=(m³-6m²+9m-2)
2(m-2)(m²-m+1) cosB=(m²-4m+1)(m-2) /:(m-2)
2(m²-m+1) cosB=(m²-4m+1) /:2(m²-m+1)
cosB=(m²-4m+1)/2(m²-m+1)

c²=a²+b²-2ab cosC
(m²-m+1)²=(m²-2m)²+(m²-1)²-2(m²-2m)(m²-1) cosC

m⁴-2m³+2m²+m²-2m+1=
=m⁴-4m³+4m²+m⁴-2m²+1-2(m²-2m)(m²-1) cosC

2(m²-2m)(m²-1) cosC=2m⁴-4m³+2m²+1-m⁴+2m³-2m²-m²+2m-1
2(m²-2m)(m²-1) cosC=m⁴-2m³-m²+2m
2m(m-2)(m²-1) cosC=m(m³-2m²-m+2) /:m
2(m-2)(m²-1) cosC=(m³-2m²-m+2)

W(m)=m³-2m²-m+2
W(2)=m³-2m²-m+2=8-8-2+2=0
Przy dzieleniu (m³-2m²-m+2) przez (m-2)
otrzymujemy: (m²-1)

2(m-2)(m²-1) cosC=(m³-2m²-m+2)
2(m-2)(m²-1) cosC=(m-2)(m²-1) /:2(m-2)(m²-1)
cosC=(m-2)(m²-1)/2(m-2)(m²-1)
cosC=½
Zatem <C=60°

Zad.2.10
a<b<c
Najdłuższy bok ma najkrótszą środkową.
Zatem jeśli a<b<c to
śa>śb>śc
gdzie śa-środkowa boku a
itd.
śa=½√(2b²+2c²-a²)
śb=½√(2a²+2c²-b²)
śc=½√(2a²+2b²-c²)

Zad.2.11
dane:
śa=s₁
śb=s₂
śc=s₃

s₁=½√(2b²+2c²-a²) /*2
2s₁=√(2b²+2c²-a²)
4s₁²=2b²+2c²-a²

s₂=½√(2a²+2c²-b²) /*2
2s₂=√(2a²+2c²-b²)
4s₂²=2a²+2c²-b²

s₃=½√(2a²+2b²-c²) /*2
2s₃=√(2a²+2b²-c²)
4s₃²=2a²+2b²-c²


4s₁²=2b²+2c²-a²
4s₂²=2a²+2c²-b²
4s₃²=2a²+2b²-c²

a²=2b²+2c²-4s₁²
4s₂²=2(2b²+2c²-4s₁²)+2c²-b²
4s₃²=2(2b²+2c²-4s₁²)+2b²-c²

4s₂²=4b²+4c²-8s₁²+2c²-b²
4s₃²=4b²+4c²-8s₁²+2b²-c²

4s₂²=3b²+6c²-8s₁² /*(-2)
4s₃²=6b²+3c²-8s₁²

-8s₂²=-6b²-12c²+16s₁²
4s₃²=6b²+3c²-8s₁²
----------------------------
9c²=8s₁²+8s₂²-4s₃²
9c²=4(2s₁²+2s₂²-s₃²) /:9
c²=4/9 (2s₁²+2s₂²-s₃²)
c=⅔√(2s₁²+2s₂²-s₃²)

4s₂²=3b²+6(4/9 (2s₁²+2s₂²-s₃²) )-8s₁²
4s₂²=3b²+8/3 (2s₁²+2s₂²-s₃²) -8s₁² /*3
12s₂²=9b²+8(2s₁²+2s₂²-s₃²)-24s₁²
-9b²=16s₁²+16s₂²-8s₃²-24s₁²-12s₂²
-9b²=-8s₁²+4s₂²-8s₃² /*(-1)
9b²=8s₁²+8s₃²-4s₂²
9b²=4(2s₁²+2s₃²-s₂²) /:9
b²=4/9 (2s₁²+2s₃²-s₂²)
b=⅔ √(2s₁²+2s₃²-s₂²)

a²=2*4/9 (2s₁²+2s₃²-s₂²) +2*4/9 (2s₁²+2s₂²-s₃²) -4s₁² /*9
9a²=8(2s₁²+2s₃²-s₂²) +8(2s₁²+2s₂²-s₃²) -36s₁²
9a²=16s₁²+16s₃²-8s₂² +16s₁²+16s₂²-8s₃² -36s₁²
9a²=8s₂²+8s₃²-4s₁²
9a²=4(2s₂²+2s₃²-s₁²) /:9
a²=4/9 (2s₂²+2s₃²-s₁²)
a=⅔ √(2s₂²+2s₃²-s₁²)
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