Zadanie 1
Punkty P, Q, R są odpowiednio środkami boków AB, BC i CA trójkąta ABC. Wiedząc, że P(1, 4), Q(2, 7), R(-3, 5) oblicz współrzędne wierzchołków A, B, C i D.
Bardzo proszę o rozpisywanie zadań ! ;)

Zadanie 2
Punkty P, Q, R są odpowiednio środkami boków AD kwadratu ABCD. Wiedząc, że P(4, -3½), Q(5½, 1), R(1, 2½) oblicz współrzędne wierzchołków A B C D.

Zadanie 3
Oblicz współrzędne wierzchołków C i równoległoboku ABCD wiedząc, że A(-5, 1), B(2, -2), a przekątne AC i BD przecinają się w punkcie S(3½, 2).

Bardzo proszę o rozwiązania w formie obliczeń, bez żadnych rysunków. ;)

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-03-10T10:39:44+01:00
Z.1
P =(1;4), Q =(2;7), R = (-3;5)
Niech
A = (x1;y1), B = (x2; y2), C =(x3; y3)
Mamy
P - środek boku AB
(x1 +x2)/2 = 1 oraz (y1 +y2)/2 = 4
Q - środek boku BC
(x2 +x3)/2 = 2 oraz (y2 + y3)/2 = 7
R - środek boku AC
(x1+x3)/2 = -3 oraz (y1 = y3)/2 = 5
zatem mamy
x1 + x2 = 2
x2 + x3 = 4
x1 +x3 = -6
----------------
x1 - x3 = -2
x1 + x3 = -6
----------------
2 x1 = -8
x1 = -4
x2 = 2 -x1 = 2 -(-4) = 6
x3 = -6 - x1 = -6 +4 = -2
oraz
y1 +y2 = 8
y2 +y3 = 14
y1 + y3 = 10
---------------
y1 - y3 = 8 -14 = -6
y1 + y3 = 10
-------------------
2 y1 = 10 -6 = 4
y1 = 2
y2 = 8 - y1 = 8 - 2 = 6
y3 = 10 - y1 = 10 - 2 = 8
Odp.
A = ( -4; 2) , B = (6; 6), C = ( -2; 8)

z.2
P =(4; -3,5)
Q =(5,5 ;1)
R = (1 ; 2,5)
P,Q,R - środki boków kwadratu ABCD
Niech S będzie środkiem boku CD.
Niech S = (x ; y)
Z równości wektorów RQ oraz SP mamy
5,5 - 1 = 4 - x oraz 1 -2,5 = -3,5 - y
4,5 = 4 -x oraz -1,5 = -3,5 - y
x = - 0,5 oraz y = 2
czyli S = ( -0,5 ; 2)
Niech: A =(x1;y1), B= (x2; y2), C = (x3 ; y3), D = (x4 ; y4)
P środek boku AD więc
(x1 + x4)/2 = 4 oraz (y1 + y4)/2 = -3,5
x1 + x4 = 8 oraz y1 + y4 = -7
Q - środek boku AB więc
x1 + x2 = 11 oraz y1 + y2 = 2
R środek boku BC więc
x2 + x3 = 2 oraz y2 + y3 = 5
S środek boku CD więc
x3 + x4 = -1 oraz y3 + y4 = -4
---------------------------------------
Mamy zatem układ 4 równań:
x1 + x4 =8
x1 + x2 = 11
x2 + x3 = 2
x3 + x4 = -1
--------------------
Mamy też wektor SQ = wektor DA
SQ = [5,5 -(-0,5); 1 -(-2)] = [6; 3]
zatem wektor DA= [6,3]
ale wektor DA = [x1 - x4; y1 - y4]
czyli
x1 - x4 = 6 oraz x1 +x4 = 8
2 x1 = 14
x1 = 7
x4 = 8 - x1 = 8 - 7 = 1
x2 = 11 - x1 = 11 -7 = 4
x3 = 2 - x2 = 2 -4 = -2
------------------------------------
------------------------------------
y1 + y4 = -7
y1 + y2 = 2
y2 + y3 = 5
y3 + y4 = -4
Mamy również y1 - y4 = 3
zatem
2 y1 = -7 +3 = -4
y1 = -2
y4 = -7 - y1 = -7 -(-2) = -7 +2 = -5
y2 = 2 - y1 = 2 -(-2) = 2 +2 = 4
y3 = 5 - y2 = 5 - 4 = 1
Mamy zatem
Odp.
A = (7; -2) , B =( 4; 4), C = (-2 ;1), D = (1 ; -5)

z.3
A = (-5; 1) , B = (2 ; -2) , S = (3,5 ; 2)
Aby wyznaczyć punkty C oraz D korzystamy z tego , że
przekątne równoległoboku w punkcie S dzielą się na połowy.
tzn.
wektory AS oraz SC są równe , a także wektory BS oraz SD są
równe.
-->
AS = [3,5 -(-5); 2 -1 ] = [8,5 ; 1]
Niech C =(x1,y1) , zatem
-->
SC = [x1 - 3,5 ; y1 - 2]
czyli z równości tych wektorów mamy
x1 - 3,5 = 8,5 ---> x1 = 8,5 + 3,5 = 12
y1 -2 = 1 ----> y1 = 1 + 2 = 3
Zatem C = (12 ; 3)
Niech D = ( x2 ; y2)
-->
BS = [3,5 -2 ; 2 -(-2)] = [ 1,5 ; 4]
-->
SD = [ x2 - 3,5; y2 - 2]
czyli z równości tych wektorów mamy
x2 - 3,5 = 1,5 ----> x2 = 1,5 + 3,5 = 5
y2 - 2 = 4 ----> y2 = 4 + 2 = 6
Zatem D = ( 5 ; 6)
Odp. C = ( 12 ; 3) oraz D = ( 5 ; 6)




3 5 3