Odpowiedzi

2016-08-10T01:36:29+02:00

Ta odpowiedź została oznaczona jako zweryfikowana

×
Zweryfikowane odpowiedzi zostały sprawdzone przez ekspertów, dlatego mamy pewność, że są prawidłowe i bezbłędne. Od dawna na zadane.pl znajdziesz tysiące poprawnych odpowiedzi, które zostały sprawdzone przez moderatorów (najbardziej zaufanych członków naszej społeczności).
Zauważmy, że równanie (x^2-x-2)(x^2+(m-3)x+1)=0 możemy zapisać równoważnie jako x^2-x-2=0 \vee x^2+(m-3)x+1=0.
Aby wyjściowe równanie miało cztery różne pierwiastki rzeczywiste, to:
1)Każde z obydwu równań kwadratowych musi mieć dwa różne rozwiązania.
2)Rozwiązania pierwszego równania nie mogą być rozwiązaniami drugiego równania.

ad. \,1)
Zajmiemy się najpierw pierwszym z powyższych równań. Aby miało ono dwa różne pierwiastki rzeczywiste potrzeba i wystarcza aby wyróżnik tego trójmianu kwadratowego był dodatni, zatem:
\Delta_1=(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-2)=1+8=9\ \textgreater \ 0
Wspomniany wyróżnik jest dodatni, obliczmy zatem rozwiązania tegoż równania:
x_1=\dfrac{1-3}{2}=(-1)\\
x_2=\dfrac{1+3}{2}=2\\

Zajmiemy się teraz drugim z równań:
\Delta_2=(m-3)^2-4\cdot 1\cdot 1=m^2-6m+9-4=m^2-6m+5

Wyznaczymy te wartości parametru m, dla których powyższy wyróżnik jest dodatni:
m^2-6m+5\ \textgreater \ 0\\
\Delta=(-6)^2-4\cdot 1 \cdot 5=36-20=16\\
\sqrt{\Delta}=\sqrt{16}=4\\
m_1=\dfrac{6-4}{2}=1\\
m_2=\dfrac{6+4}{2}=5\\
\\
(*)m \in (-\infty;1) \cup (5;\infty)

Pozostaje jeszcze spełnić warunek 2):
wprowadźmy w tym celu oznaczenie: w(x)=x^2+(m-3)x+1
Wyznaczymy te wartości parametru m, dla których liczby -1 oraz 2 nie są pierwiastkami wielomianu w:
 \left \{ {{w(-1)\not=0} \atop {w(2)\not=0}} \right. \\
 \left \{ {{1+3-m+1\not=0} \atop {4+2m-6+1\not=0}} \right. \\
 \left \{ {{5-m\not=0} \atop {2m-1\not=0}} \right. \\
 \left \{ {{m\not=5} \atop {m\not=\dfrac{1}{2}}} \right. \\
(**)m\in \mathbb{R} \backslash \left\{\dfrac{1}{2};5\right\}

Pozostaje wyznaczyć te wartości parametru  m , które spełniają łącznie warunki  (*) oraz  (**):
m \in \left(-\infty;\dfrac{1}{2}\right) \cup \left(\dfrac{1}{2};1\right) \cup \left(5;\infty\right)

Odpowiedź: Równanie (x^2-x-2)(x^2+(m-3)x+1)=0 ma cztery różne pierwiastki rzeczywiste dla m \in \left(-\infty;\dfrac{1}{2}\right) \cup \left(\dfrac{1}{2};1\right) \cup \left(5;\infty\right).
Komentarz został usunięty
super wytłumaczone :)