Odpowiedzi

2010-03-11T11:27:50+01:00
A) x²-25 = (x+5) (x-5)

b) 8x³+27 = (2x-3)³

c) x³+x²-4x = x (x²+x-4)

d) x⁴-10x²+9 = x²(x²-10) +9
1 1 1
2010-03-11T12:00:50+01:00

a) x²-25

skorzystamy z wzoru a²-b²=(a+b)(a-b)
x²-25=x²-5²=(x+5)(x-5)

b) 8x³+27=(2x)³+3³
skorzystamy z wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów: a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)

(2x+3)[(2x)²-2x*3+3²]=(2x+3)(4x²-6x+9)

dla 4x²-6x+9 obliczamy Δ=b²-4ac=(-6)²-4*4*9=36-144<0 brak pierwiastków

c) x³+x²-4x=x(x²+x-4)

dla x²+x-4 obliczamy Δ=b²-4ac=1²-4*1*(-4)=1+16=17
√Δ=√17

x1=(-b+√Δ)/2a=(-1+√17)/2
x2=(-b-√Δ)/2a=(-1-√17)/2

ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
zatem
x²+x-4 = (x-(-1+√17)/2)(x-(-1-√17)/2)=(x+(1-√17)/2)(x+(1+√17)/2)

ostatecznie
x³+x²-4x=x(x+(1-√17)/2)(x+(1+√17)/2)

d) x^4-10x^2+9

przyjmujemy, że x²=y, gdzie y>0
otrzymujemy y²-10y+9
Δ=b²-4ac=(-10)²-4*1*9=100-36=64
√Δ=√64=8

y1=(10+8)/2=9
y2=(10-8)/2=1

dla y1=9 x²=9: x1=3, x2=-3 (wyniki potwierdzają rozwiązanie)
dla y2=1 x²=1: x1=1, x2=-1

y²-10y+9=(y-9)(y-1)

x^4-10x^2+9=(x²-9)(x²-1)=(x-3)(x+3)(x-1)(x+1) <--zgodne z powyższymi obliczeniami
1 5 1