Odpowiedzi

2010-03-11T20:53:10+01:00
To zadanie można rozwiązywać różnymi sposobami. Jeżeli jesteś już po funkcjach trygonometrycznych, to można je tu zastosować, ale jeżeli nie, to trzeba wykorzystać różne własności trójkątów. Nie gwarantuję, że nie ma jakiegoś krótszego sposobu obliczania, ale ten myślę, też jest dobry. Dokładam dodatkowe oznaczenia: punkty E i F (załącznik).

METODA Z FUNKCJAMI TRYGONOMETRYCZNYMI:
1)
sinus ∢DAB=DF/AD
wiemy, że DF=10, sin 30°=1/2
1/2=10/AD
AD=20

METODA BEZ WYKORZYSTANIA FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH:
Trzeba zauważyć, że trójkąt DAF ma kąty 90, 30, 60 czyli jest on tak jakby połową trójkąta równobocznego, w którym wysokością byłby AF, a równymi bokami AD=2xDF, skoro DF=10, to AD=2*10=20

2) Trójkąt ACD jest równoramienny, o podstawie AC i równych ramionach AD i DC. Skąd to wiemy? Trzeba rozrysować wszystkie kąty, też można to robić na różne sposoby:
Rozpatrujemy trójkąt ABC:
np. wiemy że ∢ABC=75 i ∢ACB=90 to skoro suma kątów w trójkącie =180, więc ∢CAB=15
∢DAB=30, więc ∢DAC=30-15=15

Z własności kątów w trapezie wiemy że ∢ABC+∢ADC=180
∢ADC=180-75=105
Suma kątów w trójkącie ACD=180, więc ∢ACD=180-105-15=15
Teraz widać że trójkąt ACD jest równoramienny, bo ma przy podstawie dwa jednakowe kąty 15 stopni, zatem bok AD=DC
DC=20 (górna podstawa)

3)DC=FE=20
Brakuje nam tylko dolnej podstawy AB=AF+FE+EB
AF można wyznaczyć wykorzystując f.trygonom.:
cos ∢DAB=AF/AD
∢DAB=30, cos30=√3/2≈0,87
0,87=AF/20
AF=17,4 (lub można zostawić 10√3)

4)Brakuje EB
tg ∢ABC=CE/EB
∢ABC=75, tg75≈3,7, CE=10
3,7=10/EB
EB=2,7

5)AB=AF+FE+EB
AB=17,4+20+2,7=40,1

Pole trapezu=1/2*(AB+CD)*10
Pole trapezu=0,5*(40,1+20)*10
Pole trapezu=300,5

METODA BEZ FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH:
A jeśli nie mieliście jeszcze funkcji trygonometrycznych to boki trzeba liczyć z twierdzenia Pitagorasa:
1. AF²+FD²=AD²
z tego wyliczyć AF
2. AE=AF+FE
AE²+EC²=AC²
Wyznaczymy w ten sposób AC
Potem, żeby obliczyć AB, to trzeba zauważyć że trójkąt ABC jest podobny to AEC (w którym wszystkie boki już są policzone) na podstawie cechy podobieństwa trójkątów "kąt-kąt-kąt", zatem odpowiednie stosunki boków w jednym trójkącie będą równe odpowiednim stosunkom boków w drugim trójkącie.:
np. AB/AC=AC/AE

Strasznie dużo zabawy, więc zastosowanie funkcji trygonometrycznych jest wygodniejsze.

Powodzenia:)
3 4 3