Dany jest wielomian W(x)= x³-3x+2
A) rozłóż wielomian W(x) na czynniki liniowe. podaj pierwiaski wielomianu i określ ich krotność.
B) zbadaj czy istnieją takie wartości a i b aby wielomiany W(x) oraz Q(x)= (x²+a) (x-a+b) yły równe. jeśli istnieją, to wyznacz je.

1

Odpowiedzi

2010-03-12T15:04:31+01:00
A) Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian (x − (− 1)) to dokładnie W (− 1) . Liczymy
W (− 1) = − 1+ 1+ 5+ 3 = 8.

b) Szukamy najpierw pierwiastków całkowitych, czyli sprawdzamy dzielniki 3, tj. liczby 1,-1,3,-3. Trafiamy od razu, W (1) = 0 . Jak już mamy pierwiastek, to dzielimy wielomian przez (x − 1) . Robimy to tak jak umiemy, schemat Hornera, dzielenie wielomianów lub grupowanie odpowiednich czynników. My zrobimy to tą ostatnią metodą.
3 2 x + x − 5x + 3 = x3 − x2 + x2 + x2 − 5x + 3 = 2 2 x (x − 1) + 2x − 2x + 2x − 5x + 3 = x2(x − 1) + 2x (x − 1)− 3x + 3 = (x − 1)(x2 + 2x − 3)
Pozostało rozwiązać równanie kwadratowe, Δ = 4 + 12 = 16 ,
x = − 3 lub x = 1 .
Odp. - 3,1

c) Z poprzedniego podpunktu wiemy, że W (x) = (x− 1)2(x+ 3) . Mamy zatem nierówność (x − 1)2(x+ 3) > (x − 1)2 2 2 (x − 1) (x+ 3)− (x− 1) > 0 (x − 1)2(x+ 3− 1) > 0 2 (x − 1) (x+ 2) > 0 x ⁄= 1 ∧ x+ 2 > 0 x ⁄= 1 ∧ x > − 2.

Odpowiedź: x ∈ (− 2,1)∪ (1,∞ )

Mam nadzieję że pomogłam, liczę na naj... :)


2 3 2